陕西省等八校2019届高三4月联考数学（理）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 13 题，填空题 3 题，解答题 7 题
简单题 3 题，中等难度 14 题，困难题 6 题。总体难度: 中等

单选题共 13 题

已知集合，,那么等于（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于　　
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

难度: 中等查看答案及解析
下列关于命题的说法错误的是（　　）
A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题
C. 命题“,使得”的否定是：“，均有”
D. “若为的极值点，则”的逆命题为真命题

难度: 中等查看答案及解析
函数的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
设函数，表示的反函数，定义如框图表示的运算，若输入，输出；当输出时，则输入为（　　）
A. B. 6 C. D. 8

难度: 中等查看答案及解析
已知点，，，若，则的值为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知的展开式中，系数为56，则实数的值为（　　）
A. 6或-1 B. -1或4 C. 6或5 D. 4或5

难度: 中等查看答案及解析
过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若，则（　　）
A. 9 B. 72 C. D. 36

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，若等比数列满足，则（　　）
A. 2019 B. C. 2 D.

难度: 困难查看答案及解析
若关于的方程恰有3个不相等实根，则实数的取值范围是（　　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析
某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为　　　　　　　．

一年级

二年级

三年级

女生

373

男生

377

370

难度: 简单查看答案及解析

填空题共 3 题

设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．

难度: 简单查看答案及解析
记为数列的前项和，若，则_______．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

在中，，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.

难度: 中等查看答案及解析
西安市自2017年5月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”.
但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低，交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到列联表如下：

30岁以下

30岁以上

合计

闯红灯

60

未闯红灯

80

合计

200

近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚，并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：

处罚金额（单位：元）

5

10

15

20

闯红灯的人数

50

40

20

0

将统计数据所得频率代替概率，完成下列问题.
（Ⅰ）将列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关；
（Ⅱ）当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少；
（Ⅲ）结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象.
参考公式：，其中
参考数据：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.132

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

难度: 中等查看答案及解析
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，，，且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值的大小.

难度: 中等查看答案及解析
已知分别是椭圆的左右焦点.
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点， ,求点的坐标.
（Ⅱ）若直线与圆相切，交椭圆于两点，是否存在这样的直线，使得？

难度: 困难查看答案及解析
已知函数的图象在处的切线过点.
（1）若函数，求的最大值（用表示）；
（2）若，证明： .

难度: 中等查看答案及解析
已知曲线（为参数），（为参数）
（Ⅰ）将的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.

难度: 困难查看答案及解析
已知均为实数，且 .
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析

	30岁以下	30岁以上	合计
闯红灯		60
未闯红灯	80
合计			200

处罚金额（单位：元）	5	10	15	20
闯红灯的人数	50	40	20	0

	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	1.132	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	一年级	二年级	三年级
女生	373
男生	377	370