北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习数学（理）试卷

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本卷共 20 题，其中：
单选题 8 题，填空题 6 题，解答题 6 题
简单题 7 题，中等难度 9 题，困难题 4 题。总体难度: 简单

单选题共 8 题

已知集合，集合，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

难度: 简单查看答案及解析
的展开式中的常数项为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
若函数则函数的值域是（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
记不等式组所表示的平面区域为．“点”是“”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析
某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 6 题

双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．

难度: 中等查看答案及解析
执行如图所示的程序框图，则输出的值为_____．

难度: 简单查看答案及解析
在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则___．

难度: 中等查看答案及解析
能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．

难度: 中等查看答案及解析
天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．

难度: 中等查看答案及解析
在平面内，点是定点，动点，满足，，则集合所表示的区域的面积是________.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 6 题

在中，，，的面积等于，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．

难度: 中等查看答案及解析
某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：
假设乘客乘车等待时间相互独立．
(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率；
(2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.

难度: 中等查看答案及解析
如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在点，使得直线平面若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证：；
(3)讨论函数的极值．

难度: 中等查看答案及解析
已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；
（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；
（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．

难度: 困难查看答案及解析
在无穷数列中，是给定的正整数，，．
（Ⅰ）若，写出的值；
（Ⅱ）证明：数列中存在值为的项；
（Ⅲ）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．

难度: 困难查看答案及解析