安徽省芜湖市2019届高三上学期期末考试数学（理）试卷

试卷详情

本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 5 题，中等难度 15 题，困难题 3 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，则（　　）
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
设，则（　　）
A. 2　　 B. 3　　 C. 4　　 D. 5

难度: 简单查看答案及解析
长方形中，，，为的中点，在长方形内任取一点，则的概率为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
若双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 2　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知向量，满足，，，则（　　）
A. 3　　 B. 2　　 C. 1　　 D. 0

难度: 中等查看答案及解析
设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 或

难度: 中等查看答案及解析
若，，，，则，，大小关系正确的是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
函数的大致图像为（　）
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数，，若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
如图所示，正方体边长为2，为的中点，为线段上的动点（不含端点），若过点，，的平面截该正方体所得截面为四边形，则线段长度的取值范围是（　　）
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆：，为坐标原点，作斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线与的夹角为，且，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

展开式中的常数项为__________（用数字填写答案）．

难度: 简单查看答案及解析
设，满足约束条件，则的最小值为__________．

难度: 简单查看答案及解析
在我国古代数学经典名著《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某“鳖臑”的外接球的半径是3，其三视图如图所示，记正视图，侧视图，俯视图的面积和为，则的最大值是__________.

难度: 中等查看答案及解析
在中，已知，若，则周长的取值范围为__________．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

数列的前项和为，，.数列满足，已知数列的前项和为.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式.

难度: 中等查看答案及解析
如图1，是等腰直角三角形，，，分别是，上的点，.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.

难度: 中等查看答案及解析
“人民对美好生活的向往，就是我们的奋斗目标.”以习近平同志为核心的党中央，把脱贫攻坚摆到治国理政的重要位置.2018年末，某市为评估全市脱贫攻坚成果，从全市农村家庭中随机抽取100户，将其人均纯收入（单位：百元）作为样本，分组区间为，，，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）.
（1）根据样本数据，求的数值并估计样本的平均数；
（2）以样本数据来估计总体数据，从全市农村家庭中随机抽取3户家庭，其人均纯收入在内的家庭个数为，求的分布列和数学期望.

难度: 中等查看答案及解析
在直角坐标系中，已知，为抛物线：上两点，为抛物线焦点.分别过，作抛物线的切线交于点.
（1）若，求；
（2）若，分别交轴于，两点，试问的外接圆是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的极值点，，且，证明：.

难度: 困难查看答案及解析
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程；
(2)若直线的极坐标方程分别为，，设直线与曲线的交点为，，，求的面积.

难度: 中等查看答案及解析
已知.
（1）时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析