安徽省皖江名校2019届高三开学考数学（文科）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 14 题，中等难度 9 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

若集合，，则（　　）
A.
B.
C.
D.

难度: 简单查看答案及解析
设是复数的共轭复数，且，则（　　）
A. 3　　 B. 5　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知两个非零单位向量，的夹角为，则下列结论不正确的是（　　）
A. 在方向上的投影为
B.
C. ，
D. 不存在，使

难度: 简单查看答案及解析
安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于分钟的概率为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
若，则有（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
过抛物线的焦点的直线交于，点处的切线与，轴分别交于点，，若的面积为，则（　　）
A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4

难度: 简单查看答案及解析
《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（　）
A. 47　　 B. 48　　 C. 39　　 D. 40

难度: 简单查看答案及解析
某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，则（　　）
A. 2　　 B. 4　　 C. 6　　 D. 8

难度: 中等查看答案及解析
若关于的方程在区间上有且只有一解，则正数的最大值是（　　）
A. 8　　 B. 7　　 C. 6　　 D. 5

难度: 中等查看答案及解析
已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
正三棱锥中，已知点在上，，，两两垂直，，，正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

若，则________．

难度: 中等查看答案及解析
若实数满足条件，则的最大值为________．

难度: 简单查看答案及解析
已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为________．

难度: 简单查看答案及解析
在中，内角所对的边分别为．若，，且的面积等于，则________．

难度: 简单查看答案及解析

解答题共 7 题

已知数列满足，．
（I）证明是等比数列，并求的通项公式；
（II）证明：．

难度: 简单查看答案及解析
销售某种活海鲜，根据以往的销售情况，按日需量（公斤）属于[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．这种海鲜经销商进价成本为每公斤20元，当天进货当天以每公斤30元进行销售，当天未售出的须全部以每公斤10元卖给冷冻库．某海鲜产品经销商某天购进了300公斤这种海鲜，设当天利润为元．
（I）求关于的函数关系式；
（II）结合直方图估计利润不小于800元的概率．

难度: 简单查看答案及解析
在四棱锥中，为梯形，，，，，．
（I）点在线段上，满足平面，求的值；
（II）已知与的交点为，若，且平面平面，求四棱锥的体积．

难度: 中等查看答案及解析
已知点，是椭圆上两个不同的点，，，到直线的距离顺次成等差数列．
（I）求的值；
（II）线段的中垂线交轴于点，求直线的方程．

难度: 中等查看答案及解析
设函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ记函数的最小值为，证明：．

难度: 中等查看答案及解析
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．是曲线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（I）求曲线，的极坐标方程；
（II）在（I）的条件下，若射线与曲线，分别交于两点（除极点外），且有定点，求面积．

难度: 简单查看答案及解析
已知函数．
（I）当时，求不等式的解集；
（II）求证：．

难度: 简单查看答案及解析