山东省济南市2019届高三3月模拟考试理科数学试卷

试卷详情

本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 12 题，中等难度 7 题，困难题 4 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

难度: 简单查看答案及解析
已知全集，集合，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知为等比数列，若，，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
随着我国经济实力的不断提升，居民收人也在不断增加。某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：
则下列结论中正确的是（　　）
A. 该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半
B. 该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当
C. 该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍
D. 该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍

难度: 简单查看答案及解析
已知实数，满足约束条件，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
2019年1月1日，济南轨道交通号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动.市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
若，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）
　　　　
主视图　　　　　左视图　　　　　
俯视图
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
若函数在上的值域为，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为(　　 )
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体：
　　　　　　
①　　　　　 ②　　 ③　　 ④
图①是底面直径和高均为的圆锥；
图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；
图③是底面边长和高均为的正四棱锥；
图④是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

已知平面向量，满足，，，则与夹角的余弦值为_________.

难度: 简单查看答案及解析
的展开式中，的系数为_________（用数字作答）.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是_________

难度: 中等查看答案及解析
已知一族双曲线（，且），设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，.记的面积为，则__________.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

的内角，，的对边分别为，，，已知，，.
（1）求角；
（2）若点满足，求的长.

难度: 简单查看答案及解析
如图，在四棱锥中，底而为正方形，底面，，点为棱的中点，点，分别为棱，上的动点（，与所在棱的端点不重合），且满足.
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值

难度: 中等查看答案及解析
设是抛物线上的一点，抛物线在点处的切线方程为.
（1）求的方程；
（2）已知过点的两条不重合直线，的斜率之积为，且直线，分别交抛物线于，两点和，两点.是否存在常数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

难度: 中等查看答案及解析
某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装。
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个元，二级滤芯每个元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个元，二级滤芯每个元。现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.
二级滤芯更换频数分布表

二级滤芯更换的个数

频数

以个一级过滤器更换滤芯的频率代替个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以个二级过滤器更换滤芯的频率代替个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为的概率；
（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；
（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数，其导函数的最大值为.
（1）求实数的值；
（2）若，证明：.

难度: 困难查看答案及解析
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）射线的极坐标方程为，若射线与曲线的交点为，与直线的交点为，求线段的长.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

二级滤芯更换的个数
频数