江苏省常州市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

若复数满足，其中是虚数单位，则的实部为______．

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用反证法证明“若，则”时，应假设______．

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已知是虚数单位，则复数的模为______．

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用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上加上的项为_______．

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若则的值为_______．

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的展开式中常数项为__________．

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已知向量 ，若则实数的值为_______．

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从2，4，8中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_______个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

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某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时若 则_______．

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已知则_______．

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袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了次球，则 _______．

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在平面几何中，若正方形的内切圆面积为外接圆面积为则，推广到立体几何中，若正方体的内切球体积为外接球体积为，则_______．

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如图，在正三棱柱中， 分别是 的中点.设是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．

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在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为_______．

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（1）已知矩阵的一个特征值为，其对应的特征向量，求矩阵及它的另一个特征值.

（2）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最小距离.

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有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．

（1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边；

（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起；

（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻.

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已知正项数列中，且

（1）分别计算出的值，然后猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

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如图，在直三棱柱中， 分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动．

（1）当为线段的中点时，

①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.

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为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车与电动自行车两种车型，采用分段计费的方式租用.型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过分钟还车的概率分别为，并且四个人每人租车都不会超过分钟，甲乙丙均租用型车，丁租用型车．

（1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；

（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；

（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布和数学期望．

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已知

（1）求及的值；

（2）求证：（），并求的值.

（3）求的值.

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