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本卷共 22 题，其中：
单选题 11 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 2 题，中等难度 10 题，困难题 10 题。总体难度: 中等
单选题 共 11 题

  1. 复数的共轭复数对应的点在复平面内位于（　　 ）

    A. 第一象限　　 B. 第二象限　　 C. 第三象限　　 D. 第四象限

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 设集合，，则等于（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 下列结论，不正确的是（　　 ）

    A. 若是假命题， 是真命题，则命题为真命题.

    B. 若是真命题，则命题和均为真命题.

    C. 命题“若，则”的逆命题为假命题.

    D. 命题“， ”的否定是“， ”.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 设，则二项式的展开式中的系数为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 设，，是与的等差中项，则的最小值为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数是一个求余函数，记表示除以的余数，例如.下图是某个算法的程序框图，若输入的值为时，则输出的值为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 函数（其中，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（　　 ）

    A. 向左平移个单位长度　　 B. 向右平移个单位长度

    C. 向左平移个单位长度　　 D. 向右平移个单位长度

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为），其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为），四棱锥的底面是有一个角为的菱形（边长为），圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积相等，那么，下列关系式正确的是（　　 ）

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  10. 已知， ， ，平面内的动点满足， ，则的最大值是（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知函数，若 ，，则正数的取值范围是（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 如图，一只蚂蚁在边长分别为，，的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于的地方的概率为__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 设，为椭圆：的焦点，过所在的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为__________．

    难度: 困难查看答案及解析

  3. 在中，，，的对边分别为，，，且满足，，则面积的最大值为__________．

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 函数若 对恒成立，则的取值范围是___________.

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 数列的前项和满足，且，，为等差数列.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）设，求数列的前项和.

    难度: 困难查看答案及解析

  2. 如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.

    （Ⅰ）求证：平面；

    （Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

    直径/mm

    58

    59

    61

    62

    63

    64

    65

    66

    67

    68

    69

    70

    71

    73

    合计

    件数

    1

    1

    3

    5

    6

    19

    33

    18

    4

    4

    2

    1

    2

    1

    100

    经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．

    （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：①．②．③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．

    （2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品

    ①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；

    ②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望．

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 已知椭圆: 上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为 ，

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若为曲线上两点， 为坐标原点，直线 的斜率分别为，且，求直线被圆截得弦长的最大值及此时直线的方程.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数.

    （1）求函数的单调区间；

    （2）若恒成立，试确定实数的取值范围；

    （3）证明： .

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．

    （1）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；

    （2）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于两点，求的面积．

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 已知， ，函数的最小值为．

    （1）求的值；

    （2）证明： 与不可能同时成立．

    难度: 中等查看答案及解析