湖北省教育教学改革联盟校2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

试卷详情

本卷共 22 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 6 题
简单题 10 题，中等难度 11 题，困难题 1 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

抛物线的准线方程为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
函数的导函数是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
下列说法错误的是（　　）
A. 对于命题：，使得，则：，均有
B. 若为真命题，则为真命题
C. 若命题“若则”为真命题，则其否命题也可能为真命题
D. 命题“若方程无实数根，则”的逆否命题为：“若，则方程有实数根”

难度: 中等查看答案及解析
盒中装有9个乒乓球，其中6个白色球，3个红色球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红色球的条件下，第二次也摸出红色球的概率为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
如图所示的程序框图的算法思想来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的，则输入的，不可能是（　　）
A. 12，18　　 B. 6，6　　 C. 24，32　　 D. 30，42

难度: 简单查看答案及解析
某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个编号分别为053，098，则样本中最大的编号为（　　）
A. 853　　 B. 854　　 C. 863　　 D. 864

难度: 简单查看答案及解析
函数在处导数存在且记为，则“是是的极值点”的（　　）
A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件　　 D. 既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析
在正方体中，点、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
如图，矩形的四个顶点依次为，，，，记线段，以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域内的概率为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
现有，，，，五位同学全部保送到清华、北大和武大3所大学，若每所大学至少保送1人，且同学必须保送到清华，则不同的保送方案共有（　　）
A. 36种　　 B. 50种　　 C. 75种　　 D. 100种

难度: 中等查看答案及解析
将二项式展式式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

二项式展开式中含项的系数为__________（用数字作答）．

难度: 简单查看答案及解析
设随机变量，随机变量，则的方差__________．

难度: 简单查看答案及解析
设：函数在区间上单调递减；：方程表示焦点在轴上的椭圆.如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，若对任意的，且，有恒成立，则实数的取值范围为__________．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 6 题

某数学兴趣小组共有12位同学，下图是他们某次数学竞赛成绩（满分100分）的茎叶图，其中有一个数字模糊不清，图中用表示，规定成绩不低于80分为优秀.
（1）已知该12位同学竞赛成绩的中位数为78，求图中的值；
（2）从该12位同学中随机选3位同学，进行竞赛试卷分析，设其中成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望.

难度: 中等查看答案及解析
如图1，在直角梯形中，，，且.现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.

难度: 中等查看答案及解析
某食品店为了了解气温对某食品销售量的影响，记录了该店1月份中某5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：

2

5

8

9

11

12

10

8

8

7

（1）求与之间的线性回归方程，并预测最低气温为时的日销售量；
（2）设该地1月份的日最低气温，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，试求.
附：① ，；
②，，若，则，， .

难度: 中等查看答案及解析
某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）.
（1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）
（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.

难度: 中等查看答案及解析
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个300元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图.以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（1）求的分布列；
（2）若要求，试确定的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？

难度: 中等查看答案及解析
已知函数（其中），（其中为自然对数的底数）.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值；
（2）若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析