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2010年高考数学专项复习:创新题(3)(解析版)
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高三
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试卷详情
本卷共 13 题,其中:
解答题 10 题,选择题 3 题
中等难度 13 题。总体难度: 中等
解答题 共 10 题
已知数列A:a
1
,a
2
,…,a
n
(0≤a
1
<a
2
<…<a
n
,n≥3)具有性质P:对任意i,j(1≤i≤j≤n),a
j
+a
i
与a
j
-a
i
两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题:
①数列0,1,3具有性质P;
②数列0,2,4,6具有性质P;
③若数列A具有性质P,则a
1
=0;
④若数列a
1
,a
2
,a
3
(0≤a
1
<a
2
<a
3
)具有性质P,则a
1
+a
3
=2a
2
.
其中真命题有________.
难度: 中等
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现定义命题演算的合式公式(wff),规定为:
A、单个命题本身是一个合式公式;
B、如果A是合式公式,那么¬A是合式公式;
C、如果A和B是合式公式,那么(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)都是合式公式;
D、当且仅当能够有限次地运用A、B、C所得到的命题是合式公式.
说明:考生无需知道(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)所表示的具体含义.
下列公式是合式公式的是:________.
①((¬P→Q)→(Q→P))②(Q→R∧S)③(RS→T)
④(P↔(R→S))⑤((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
难度: 中等
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若定义在区间D上的函数f(x)对D上的任意n个值x
1
,x
2
,…,x
n
,总满足
[f(x
1
)+f(x
2
)+…+f(x
n
)]≤f
(
),则称f(x)为D上的凸函数.已知函数y=sinx在区间(0,π)上是“凸函数”,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是 ________.
难度: 中等
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给出封闭函数的定义:若对于定义域D内的任意一个自变量x,都有函数值f(x)∈D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若定义域D=(0,1),则函数①f
1
(x)=3x-1;②f
2
(x)=-
x
2
-
x+1;③f
3
(x)=1-x;④f
4
(x)=x,其中在D上封闭的是________.(填序号即可)
难度: 中等
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给出下列四个命题:
①设x
1
,x
2
∈R,则x
1
>1且x
2
>1的充要条件是x
1
+x
2
>2且x
1
x
2
>1;
②任意的锐角三角形ABC中,有sinA>cosB成立;
③平面上n个圆最多将平面分成2n
2
-4n+4个部分;
④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角.
其中真命题的序号是________(要求写出所有真命题的序号).
难度: 中等
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如果对于函数f(x)的定义域内任意的x
1
,x
2
,都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤|x
1
-x
2
|成立,那么就称函数f(x)是定义域上的“平缓函数”.
(1)判断函数f(x)=x
2
-x,x∈[0,1]是否是“平缓函数”;
(2)若函数f(x)是闭区间[0,1]上的“平缓函数”,且f(0)=f(1).证明:对于任意
的x
1
,x
2
∈[0,1],都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤
成立.
(3)设a、m为实常数,m>0.若f(x)=alnx是区间[m,+∞)上的“平缓函数”,试估计a的取值范围(用m表示,不必证明).
难度: 中等
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定义:如果数列{a
n
}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称{a
n
}为“三角形”数列.对于“三角形”数列{a
n
},如果函数y=f(x)使得b
n
=f(a
n
)仍为一个“三角形”数列,则称y=f(x)是数列{a
n
}的“保三角形函数”,(n∈N
﹡
).
(1)已知{a
n
}是首项为2,公差为1的等差数列,若f(x)=k
x
,(k>1)是数列{a
n
}的“保三角形函数”,求k的取值范围;
(2)已知数列{c
n
}的首项为2010,S
n
是数列{c
n
}的前n项和,且满足4S
n+1
-3S
n
=8040,证明{c
n
}是“三角形”数列;
(3)[文科]若g(x)=lgx是(2)中数列{c
n
}的“保三角形函数”,问数列{c
n
}最多有多少项.
[理科]根据“保三角形函数”的定义,对函数h(x)=-x
2
+2x,x∈[1,A],和数列1,1+d,1+2d,(d>0)提出一个正确的命题,并说明理由.
难度: 中等
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如图,已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的焦点和上顶点分别为F
1
、F
2
、B,我们称△F
1
BF
2
为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比.
(1)已知椭圆C
1
:
+y
2
=1和C
2
:
+
=1,判断C
2
与C
1
是否相似,如果相似则求出C
2
与C
1
的相似比,若不相似请说明理由;
(2)已知直线l:y=x+1,在椭圆C
b
上是否存在两点M、N关于直线l对称,若存在,则求出函数f(b)=|MN|的解析式.
难度: 中等
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设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a
n
}的集合:①对任意n∈N
+
,
≤a
n+1
,恒成立;②对任意n∈N
+
,存在与n无关的常数M,使a
n
≤M恒成立.
(Ⅰ)若{a
n
}是等差数列,S
n
是其前n项的和,且a
3
=4,S
3
=18,试探究数列{S
n
}与集合W之间的关系;
(Ⅱ)设数列{b
n
}的通项公式为b
n
=5n-2
n
,且{b
n
}∈W,求M的取值范围.
难度: 中等
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设f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导函数为f′(x),且对任意正数x均有f′(x)>
,
(Ⅰ)判断函数F(x)=
在(0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)设x
1
,x
2
∈(0,+∞),比较f(x
1
)+f(x
2
)与f(x
1
+x
2
)的大小,并证明你的结论.
难度: 中等
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选择题 共 3 题
定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于( )
A.n
B.n+1
C.n-1
D.n
2
难度: 中等
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设X=[a,b],Y=[c,d]都是闭区间,则“直积”X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y}表示直角坐标平面上的( )
A.一条线段
B.两条线段
C.四条线段
D.包含内部及边界的矩形区域
难度: 中等
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若称
为n个正数,a
1
,a
2
…,a
n
的“均倒数”,数列{a
n
}的各项均为正,但其前n项的“均倒数”为
,则数列{a
n
}的通项公式为( )
A.2n-1
B.4n-3
C.4n-1
D.4n-5
难度: 中等
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