湖南省长沙市2017届高三5月模拟考试数学（理）试卷

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本卷共 23 题，其中：
选择题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 3 题，中等难度 18 题，困难题 2 题。总体难度: 简单

选择题共 12 题

若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
设集合，，则的子集的个数是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
若实数满足约束条件，则的最大值是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色.将笔和笔帽随机套在一起，请问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知的最小正周期是，将图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则（　　）
A. 在区间上单调递减　　 B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递减　　 D. 在区间上单调递增

难度: 中等查看答案及解析
按下图所示的程序框图，若输入，则输出的（）
A. 45　　 B. 47　　 C. 49　　 D. 51

难度: 简单查看答案及解析
设，则的大小关系是（）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为，则该三棱锥的表面积为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知抛物线，焦点记为，过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯((Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为，为地面直径，顶角为，那么不过顶点的平面；与夹角时，截口曲线为椭圆；与夹角时，截口曲线为抛物线；与夹角时，截口曲线为双曲线.如图，底面内的直线，过的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与的交点为，可知为长轴.那么当在线段上运动时，截口曲线的短轴顶点的轨迹为（　　）　　　　　
A. 圆的部分　　 B. 椭圆的部分　　 C. 双曲线的部分　　 D. 抛物线的部分

难度: 中等查看答案及解析
设曲线（为自然对数的底数）上任意一点的切线为，总存在曲线上某点处切线，使得，则实数的取值范围为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

的展开式中常数项是__________．

难度: 中等查看答案及解析
从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为__________．（用数字作答）

难度: 困难查看答案及解析
下列共用四个命题.
（1）命题“， ”的否定是“， ”；
（2）在回归分析中，相关指数为的模型比为的模型拟合效果好；
（3），，，则是的充分不必要条件；
（4）已知幂函数为偶函数，则.
其中正确的序号为_________．（写出所有正确命题的序号）

难度: 中等查看答案及解析
已知，，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为__________．

难度: 简单查看答案及解析

解答题共 7 题

四边形如图所示，已知， .
（1）求的值；
（2）记与的面积分别是与，求的最大值.

难度: 中等查看答案及解析
为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，长郡中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后，得到如下的列联表：

分数大于等于120分

分数不足120分

合计

周做题时间不少于15小时

4

19

周做题时间不足15小时

合计

45

（1）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（2）（ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ⅱ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.

附：

难度: 中等查看答案及解析
如图所示，四棱锥的底面是梯形，且, 平面，是中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，求直线与平面所成角的大小．

难度: 困难查看答案及解析
在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线的距离的比值为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作与轴不垂直的直线交轨迹于，两点，在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数， .
（1）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；
（2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负.

难度: 中等查看答案及解析
选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（其中为参数）.
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；
（2）直线的参数方程为：（其中为参数），直线与曲线分别交于两点，且，求直线的斜率.

难度: 中等查看答案及解析
选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于实数，有，求证： .

难度: 中等查看答案及解析

	分数大于等于120分	分数不足120分	合计
周做题时间不少于15小时		4	19
周做题时间不足15小时
合计			45