2013届山西省晋商四校高二下学期联考理科数学试卷（解析版）

试卷详情

本卷共 21 题，其中：
选择题 11 题，填空题 4 题，解答题 6 题
简单题 21 题。总体难度: 简单

选择题共 11 题

是虚数单位，复数的实部是（）
A．　 B． C．　　D．

难度: 简单查看答案及解析
命题：“”的否定为（）
A．B．
C． D．

难度: 简单查看答案及解析
过点且垂直于直线的直线方程为（　）
A. B．
C． D．

难度: 简单查看答案及解析
在“”，“”，“”形式的命题中“”为真，“”为假，“”为真，那么p，q的真假情况分别为（）
A．真，假 B．假，真 C．真，真 D．假，假

难度: 简单查看答案及解析
定积分的值是（）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知，由不等式…….,可以推出结论： =（）
A． B． C． D．

难度: 简单查看答案及解析
“”是“对任意的正数均有”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析
有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的表面积及体积为（）
A. B.
C. D.以上都不正确

难度: 简单查看答案及解析
设四个点在同一球面上，且两两垂直，,那么这个球的表面积是（）
A． B． C． D．

难度: 简单查看答案及解析
已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．

难度: 简单查看答案及解析
已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．

难度: 简单查看答案及解析

填空题共 4 题

的递推关系式是.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数_______.

难度: 简单查看答案及解析
已知为一次函数，且，则=______.

难度: 简单查看答案及解析
设为两个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，，，则；②若相交且不垂直，则不垂直；③若，则n⊥； ④若，则．其中所有真命题的序号是　　．

难度: 简单查看答案及解析

解答题共 6 题

求圆心在直线上，且经过原点及点的圆的标准方程.
【解析】本试题主要考查的圆的方程的求解，利用圆心和半径表示圆，首先设圆心C的坐标为（），然后利用，得到，从而圆心，半径.可得原点标准方程。
【解析】
设圆心C的坐标为（），...........2分
则，即
，解得........4分
所以圆心，半径...........8分
故圆C的标准方程为：.......10分

难度: 简单查看答案及解析
求由抛物线与直线及所围成图形的面积.
【解析】首先利用已知函数和抛物线作图，然后确定交点坐标，然后利用定积分表示出面积为，所以得到,由此得到结论为
【解析】
设所求图形面积为，则
=．即所求图形面积为．

难度: 简单查看答案及解析
把函数的图象按向量平移得到函数的图象．　
(1)求函数的解析式； (2)若，证明：.
【解析】本试题主要考查了函数平抑变换和运用函数思想证明不等式。第一问中，利用设上任意一点为（x,y）则平移前对应点是（x+1,y-2）代入　，便可以得到结论。第二问中，令，然后求导，利用最小值大于零得到。
(1)【解析】
设上任意一点为（x,y）则平移前对应点是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分
(2) 证明：令，……6分
则……8分
,∴,∴在上单调递增．……10分
故，即

难度: 简单查看答案及解析
已知直三棱柱中, , ，是和的交点, 若.
（1）求的长；（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.
【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中，利用ACCA为正方形, AC=3
第二问中，利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=，第三问中，利用三垂线定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值为
解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 …………… 5分
(2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB
CHE为二面角C－AB－C的平面角. ……… 9分
sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分
解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ……………………… 3分
=(2, －, －), =(0, －3, －h) ……… 4分
·=0, h=3
(2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)
点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分
(3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C－AB－C的大小满足cos== ……… 11分
二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为

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已知椭圆的长轴长为，焦点是，点到直线的距离为，过点且倾斜角为锐角的直线与椭圆交于A、B两点，使得.
(1)求椭圆的标准方程； (2)求直线l的方程．
【解析】（1）中利用点F₁到直线x＝－的距离为可知－＋＝.得到a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.
得到椭圆的方程。（2）中，利用，设出点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．，借助于向量公式再利用 A、B在椭圆＋y²＝1上，得到坐标的值，然后求解得到直线方程。
解:(1)∵F₁到直线x＝－的距离为，∴－＋＝.
∴a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.
∵椭圆的焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为＋y²＝1.……4分
(2)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．由第(1)问知
,
∴……6分
∵A、B在椭圆＋y²＝1上，
∴……10分
∴l的斜率为＝.
∴l的方程为y＝(x－)，即x－y－＝0.

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设函数
（1）当时，求曲线处的切线方程；
（2）当时，求的极大值和极小值；
（3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.
【解析】（1）中，先利用，表示出点的斜率值这样可以得到切线方程。（2）中，当，再令，利用导数的正负确定单调性，进而得到极值。（3）中，利用函数在给定区间递增，说明了在区间导数恒大于等于零，分离参数求解范围的思想。
【解析】
（1）当……2分
∴
即为所求切线方程。………………4分
（2）当
令………………6分
∴递减，在（3，+）递增
∴的极大值为…………8分
（3）
①若上单调递增。∴满足要求。…10分
②若
∵恒成立，
恒成立，即a>0……………11分
时，不合题意。综上所述，实数的取值范围是

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