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本卷共 23 题,其中:
选择题 10 题,填空题 5 题,解答题 8 题
简单题 10 题,中等难度 6 题,困难题 6 题。总体难度: 简单
选择题 共 10 题
  1. =(   )

    A.      B.      C.      D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 命题“对任意实数,关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(   )

    A.      B.      C.      D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为(   )

    A.      B.      C.      D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知复数为虚数单位)为实数,则的值为(   )

    A.       B.

    C.       D.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 如图所示是一个几何体的三视图,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的表面积是(   )

    A.      B.      C.      D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 如图,分别是射线上的两点,给出下列向量:①;②

    ;④;⑤

    若这些向量均以为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的有(   )

    A.①②     B.②④     C.①③     D.③⑤

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知过抛物线焦点的一条直线与抛物线相交于两点,若,则线段的中点到轴的距离等于(   )

    A.      B.      C.      D.

    难度: 困难查看答案及解析

  8. 若函数在区间上有两个零点,则的取值范围是(   )

    A.       B.

    C.      D.

    难度: 困难查看答案及解析

  9. 已知函数上的减函数,且函数的图象关于点对称.设动点,若实数满足不等式 恒成立,则的取值范围是(   )

    A.      B.      C.      D.

    难度: 困难查看答案及解析

  10. 定义:分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数.我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如:, 

    依此类推可得:

    其中.设,则的最小值为(   )

    A.      B.      C.      D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 5 题
  1. 如图所示的程序执行后输出的结果      

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 二项式展开式中的常数项为       (用数字作答).

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知点在渐近线方程为的双曲线上,其中分别为其左、右焦点.若的面积为16且,则的值为      

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字,且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数,则这样的六位数共有       个(用数字作答).

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知动点在函数的图像上,定点,则线段长度的最小值是      

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 8 题
  1. (本小题满分13分)已知在中,角所对的边分别为,且为钝角.

    (Ⅰ)求角的大小;

    (Ⅱ)若,求的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. (本小题满分13分)某运动队拟在2015年3月份安排5次体能测试,规定:依次测试,只需有一次测试合格就不必参加后续的测试.已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为的等差数列,他第一次测试合格的概率不超过,且他直到第二次测试才合格的概率为

    (Ⅰ)求小刘第一次参加测试就合格的概率;

    (Ⅱ)在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下,记小刘参加后续测试的次数为,求随机变量的分布列和数学期望.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. (本小题满分13分)如图,已知是圆的两条互相垂直的直径,直角梯形所在平面与圆所在平面互相垂直,其中,点为线段中点.

    (Ⅰ)求证:直线平面

    (Ⅱ)若点在线段上,且点在平面上的射影为线段的中点,请求出线段的长.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. (本小题满分13分)如图,已知椭圆的离心率为,其左、右顶点分别为.一条不经过原点的直线与该椭圆相交于两点.

    (Ⅰ)求椭圆的方程;

    (Ⅱ)若,直线的斜率分别为.试问:是否存在实数,使得?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. (本小题满分14分)已知函数为自然对数的底数),曲线处的切线与直线互相垂直.

    (Ⅰ)求实数的值;

    (Ⅱ)若对任意恒成立,求实数的取值范围;

    (Ⅲ)设 .问:是否存在正常数,对任意给定的正整数,都有成立?若存在,求的最小值;若不存在,请说明理由.

    难度: 极难查看答案及解析

  6. (本小题满分14分)已知二阶矩阵,若矩阵属于特征值的一个特征向量,属于特征值3的一个特征向量

    (Ⅰ)求实数的值;

    (Ⅱ)若向量,计算的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),若以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆的极坐标方程为,设是圆上任一点,连结并延长到,使

    (Ⅰ)求点轨迹的直角坐标方程;

    (Ⅱ)若直线与点轨迹相交于两点,点的直角坐标为,求的值.

    难度: 困难查看答案及解析

  8. 已知函数

    (Ⅰ)当时,解不等式

    (Ⅱ)当时,若函数既存在最小值,也存在最大值,求所有满足条件的实数的集合.

    难度: 中等查看答案及解析