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本卷共 23 题，其中：
选择题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 9 题，中等难度 11 题，困难题 3 题。总体难度: 简单
选择题 共 12 题

  1. 已知集合，则　　　　　　　　　　 （　　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号并用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本。已知5号，33号，47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为　　　　　　　　　　　　　　 （　　　 ）

    A. 13　　 B. 17　　 C. 19　　 D. 21

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 在等差数列中， 是方程的根，则的值是　　　　　　　　　　 （　　　 ）

    A. 41　　 B. 51　　 C. 61　　 D. 68

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 将三角函数向左平移个单位后，得到的函数解析式为　　　　　　　　　 （　　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 已知实数 ，则的大小关系是　　　　　　 （　　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 给出下列两个命题：命题:若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则的概率为.

    命题：若函数，则的最小值为4.则下列命题为真命题的是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为5、2，则输出的n等于

    A. 2　　 B. 3

    C. 4　　 D. 5

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 若满足，当取最大值时， 的常数项为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为 （　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知双曲线的左顶点为，抛物线的焦点为，若在曲线的渐近线上存在点使得，则双曲线离心率的取值范围是（　　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 若函数在区间上， ， ， ， ， ， 均可为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”．已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（ ）

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 已知向量的夹角为，则__________．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知抛物线上的一点到焦点的距离是到轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知中， 交于，则的长为__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 在棱长为1的正方体中， , 是线段上的动点，过做平面的垂线交平面于点，则点到点的距离最小值是___________．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若,且成等比数列

    （Ⅰ）求数列的通项公式；

    （Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和，证明.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其实验统计结果如下

    方式

    实施地点

    大雨

    中雨

    小雨

    模拟实验次数

    A

    甲

    2次

    6次

    4次

    12次

    B

    乙

    3次

    6次

    3次

    12次

    C

    丙

    2次

    2次

    8次

    12次

    假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，且不考虑洪涝灾害，请根据统计数据：

    （1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；

    （2）考虑不同地区的干旱程度，当雨量达到理想状态时，能缓解旱情，若甲、丙地需中雨或大雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量，求的分布列和数学期望．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知四棱锥的底面为平行四边形，且,, 分别为中点，过作平面分别与线段相交于点.

    （Ⅰ）在图中作出平面，使面‖ (不要求证明）；

    （II）若，是否存在实数，使二面角的平面角大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B,左右焦点分别为、,,直线交椭圆于C、D两点，与线段及椭圆短轴分别交于两点（不重合）,且.

    （Ⅰ）求椭圆E的离心率；

    （Ⅱ）若，设直线的斜率分别为，求的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数.

    （Ⅰ）研究函数的单调性；

    （Ⅱ）设函数有两个不同的零点、，且.

    （1）求的取值范围；　　　　　　　　　　 （2）求证： .

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 选修4－4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（ 为参数）.

    （Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

    （Ⅱ）曲线交轴于两点，且点， 为直线上的动点，求周长的最小值.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 选修4-5：不等式选讲

    设函数

    （Ⅰ）若最小值为，求的值；

    （Ⅱ）求不等式的解集.

    难度: 中等查看答案及解析