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本卷共 23 题，其中：
选择题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 4 题，中等难度 12 题，困难题 4 题。总体难度: 简单
选择题 共 12 题

  1. 设， ， ，则（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 在复平面中，复数对应的点在（　　　 ）

    A. 第一象限　　 B. 第二象限　　 C. 第三象限　　 D. 第四象限

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 在中，角的对边分别为，则“”是“”的（　　 ）

    A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件　　 C. 充要条件　　 D. 既不充分也不必要条件

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 若，且，则（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 执行下面的程序框图，则输出的值为 （　　 ）

    A. 98　　 B. 99　　 C. 100　　 D. 101

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 李冶(1192-1279)，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居

    讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 平方步为亩，圆周率按近似计算）

    A. 步、步　　 B. 步、步　　 C. 步、步　　 D. 步、步

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 某几何体三视如下图，则该几何体体积是（　　 ）

    A. 16　　 B. 20　　 C. 52　　 D. 60

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 若，则在的展开式中， 的幂函数不是整数的项共有（　　 ）

    A. 13项　　 B. 14项　　 C. 15项　　 D. 16项

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知函数，是的导函数，则函数的一个单调递减区间是（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积为，若满足上述约束条件，则的最小值为（　　 ）

    A. -1　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点， 分别交轴于两点，若的周长 12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 已知函数，其中，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 极难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 设样本数据的方差是4，若，则的方差为__________．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 设二面角的大小为，点在平面内，点在上，且，则与平面所成的角的大小为__________．

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 非零向量的夹角为，且满足（），向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能的最小值为，则__________．

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知等差数列的前项和为，若，，（　　 且）.

    （1）求的值；

    （2）若数列满足，求数列的前项和．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，且，，四棱锥的体积为2，点在平面内的正投影为，且在上点是线段上，且．

    （1）证明：直线平面；

    （2）求二面角的余弦值．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：

    交强险浮动因素和浮动费率比率表

    浮动因素

    浮动比率

    上一个年度未发生有责任道路交通事故

    下浮10%

    上两个年度未发生有责任道路交通事故

    下浮20%

    上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故

    下浮30%

    上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故

    0%

    上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故

    上浮10%

    上一个年度发生有责任道路交通死亡事故

    上浮30%

    某机构为了 某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

    类型

    数量

    10

    5

    5

    20

    15

    5

    以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

    （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定， ，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）

    （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：

    ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；

    ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 设是椭圆上三个点，在直线上的射影分别为．

    （1）若直线过原点，直线斜率分别为，求证：为定值；

    （2）若不是椭圆长轴的端点，点坐标为，与面积之比为5，求中点的轨迹方程．

    难度: 极难查看答案及解析

  5. 已知函数，．

    （1）讨论函数在上的单调性；

    （2）若与的图象有且仅有一条公切线，试求实数的值．

    难度: 极难查看答案及解析

  6. 选修4-4：坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程．

    （1）若曲线与只有一个公共点，求的值；

    （2）为曲线上的两点，且，求的面积最大值．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 选修4-5：不等式选讲

    设函数的最大值为．

    （1）作出函数的图象；

    （2）若，求的最大值．

    难度: 中等查看答案及解析