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本卷共 22 题,其中:
选择题 10 题,填空题 6 题,解答题 6 题
中等难度 22 题。总体难度: 中等
选择题 共 10 题
  1. 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
    A.(¬p)∨(¬q)
    B.p∨(¬q)
    C.(¬p)∧(¬q)
    D.p∨q

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 在复平面内,复数(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
    A.第一象限
    B.第二象限
    C.第三象限
    D.第四象限

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知全集为R,集合,则A∩∁RB=( )
    A.{x|x≤0}
    B.{x|2≤x≤4}
    C.{x|0≤x<2或x>4}
    D.{x|0<x≤2或x≥4}

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 将函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
    A.
    B.
    C.
    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知,则双曲线的( )
    A.实轴长相等
    B.虚轴长相等
    C.焦距相等
    D.离心率相等

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的投影为( )
    A.
    B.
    C.
    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )
    A.1+25ln5
    B.8+25ln
    C.4+25ln5
    D.4+50ln2

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )

    A.V1<V2<V4<V3
    B.V1<V3<V2<V4
    C.V2<V1<V3<V4
    D.V2<V3<V1<V4

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=( )

    A.
    B.
    C.
    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 已知a为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)( )
    A.
    B.
    C.
    D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 6 题
  1. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示:
    (Ⅰ)直方图中x的值为________;
    (Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为________.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=________.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 设x,y,z∈R,且满足:,则x+y+z=________.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
    三角形数
    正方形数N(n,4)=n2
    五边形数
    六边形数N(n,6)=2n2-n,

    可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=________.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. (选修4-1:几何证明选讲)
    如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值为________.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. (选修4-4:坐标系与参数方程)
    在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为________.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 6 题
  1. 在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A-3cos(B+C)=1.
    (Ⅰ)求角A的大小;
    (Ⅱ)若△ABC的面积,求sinBsinC的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
    (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
    (Ⅱ)是否存在正整数m,使得?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.
    (Ⅰ)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;
    (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ与EF所成的角为α,二面角E-l-C的大小为β.求证:sinθ=sinαsinβ.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p.
    (Ⅰ)求p的值;
    (参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)
    (Ⅱ)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D,记,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2
    (Ⅰ)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;
    (Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 设n是正整数,r为正有理数.
    (Ⅰ)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;
    (Ⅱ)证明:
    (Ⅲ)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如.令的值.
    (参考数据:

    难度: 中等查看答案及解析