湖南省张家界市2018届高三第三次模拟考试数学（理）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 6 题，中等难度 16 题，困难题 1 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，，则的元素个数为（　　）
A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4

难度: 简单查看答案及解析
已知是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A. 第一象限　　 B. 第二象限　　 C. 第三象限　　 D. 第四象限

难度: 简单查看答案及解析
已知，，，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为
　　　　　
A. 3603　　 B. 1326
C. 510　　 D. 336

难度: 中等查看答案及解析
已知实数，满足，则的最小值是（　　）
A. -6　　 B. -4　　 C. 　　 D. 0

难度: 中等查看答案及解析
双曲线的离心率为，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程是(　 )
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
执行如图所示的程序框图，则输出的（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 4　　 D. 5

难度: 简单查看答案及解析
若，，则的值为
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知等比数列的前项积为，若，，则当取得最大值时，的值为（　　）
A. 2　　 B. 3　　 C. 4　　 D. 6

难度: 中等查看答案及解析
某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则当取得最小值时，函数的一个单调递增区间为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，若函数与有相同的值域，则的取值范围是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

设非零向量，满足，且，则向量与的夹角为__________．

难度: 中等查看答案及解析
已知在内任取一个实数，在内任取一个实数，则点位于上方的概率为__________．

难度: 中等查看答案及解析
已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线有一点，过点作，垂足为，若等边的面积为，则__________．

难度: 中等查看答案及解析
已知三棱锥满足底面，是边长为的等边三角形，是线段上一点，且.球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面为__________．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

已知中，.
（Ⅰ）若，求的面积；
（II）若，求的长.

难度: 困难查看答案及解析
生蚝即牡蛎，是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.

质量（）

数量

6

10

12

8

4

（Ⅰ）若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；
（Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.

难度: 中等查看答案及解析
已知在直三棱柱中，，，，，，点在线段上.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

难度: 中等查看答案及解析
（题文）已知椭圆的离心率为,且椭圆过点,过点作两条相互垂直的直线,分别与椭圆交于四点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若,探究：直线是否过定点？若是,请求出定点坐标；若不是,请说明理由.

难度: 简单查看答案及解析
已知关于的方程有两个不同的实数根、.
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：.

难度: 中等查看答案及解析
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求出曲线、的参数方程；
（Ⅱ）若、分别是曲线、上的动点，求的最大值.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数.
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

质量（）
数量	6	10	12	8	4