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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 14 题，中等难度 8 题，困难题 1 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题

  1. 欧拉公式：被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合，则集合A不含无理数的子集共有(　　 )

    A.8个 B.7个 C.4个 D.3个

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知，，，则，，的大小关系为（）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 若，且，则的最小值是(　　 )

    A.4 B. C.5 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. “”是圆锥曲线的焦距与实数无关的（　　 ）

    A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

    C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 函数的图像关于直线对称，则的可能值为(　　 )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 已知数列满足：，则(　　 )

    A.16 B.25 C.28 D.33

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 如图，在复平面内点P对应的复数，将点P绕坐标原点O逆时针旋转到点Q，则点Q对应的复数的虚部为(　　 )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是

    A. B.

    C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 福彩是利国利民游戏，其刮刮乐之《蓝色奇迹》：如图（1）示例，刮开票面看到最左侧一列四个两位数字为“我的号码”，最上行四个两位数为“中奖号码”，这八个两位数是00至99这一百个数字随机产生的，若两个数字相同即中得其相交线上的奖金，奖金可以累加.小明买的一张《蓝色奇迹》刮刮乐如图（2），除了一个“我的号码”外，他已经刮开票面上其它所有数字，依据目前的信息，小明从这张刮刮乐得到的奖金额高于600元的概率为（无所得税）(　　 )

    　　

    图（1） 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 图（2）

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 如图圆锥PO，轴截面PAB是边长为2的等边三角形，过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为(　　 )

    A.1 B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  11. 已知A，B是半径为的球面上的两点，过AB作互相垂直的两个平面，若球心到截该球所得两个截面距离平方之和为8，则线段AB的长度是(　　 )

    A. B.2 C. D.4

    难度: 简单查看答案及解析

  12. 设函数由方程到确定，对于函数给出下列命题：

    ①对任意，都有恒成立：

    ②，使得且同时成立；

    ③对于任意恒成立；

    ④对任意，，

    都有恒成立.其中正确的命题共有(　　 )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 已知是夹角为的两个单位向量，，若则________.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 网上购鞋常常看到下面的表格：

    脚长（单位mm）

    220

    225

    230

    235

    240

    245

    250

    255

    260

    265

    鞋号

    34

    35

    36

    37

    38

    39

    40

    41

    42

    43

    依据表中脚长与鞋号的对应规律，计算30号童鞋对应的脚长是________mm.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 己知等差数列的公差不为零，其前n项和，若成等比数列，则________.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 己知函数，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是________.

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.

    （1）求出线段AE的长度；

    （2）求出隧道CD的长度.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 如图，等腰梯形ABCD中，，E为CD中点，将沿AE折到的位置.

    （1）证明：；

    （2）请你求出在沿AE任意折叠过程中所得四棱锥体积的最大值.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：

    年份x

    2014

    2015

    2016

    2017

    2018

    足球特色学校y（百个）

    0.30

    0.60

    1.00

    1.40

    1.70

    （1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱.

    （已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较）：

    （2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.

    参考公式和数据：，

    ，

    .

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图所示，取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志，为美观考虑，要求图中标记的①、②、③）三个区域面积彼此相等.（已知：椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积，即椭圆面积为）

    （1）求椭圆的离心率的值；

    （2）已知外椭圆长轴长为6，用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切，移动角尺绕外椭圆一周，得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来，整个标志完成.请你建立合适的坐标系，求出点M的轨迹方程.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知，函数.

    （1）是函数数的导函数，记，若在区间上为单调函数，求实数a的取值范围；

    （2）设实数，求证：对任意实数，总有成立.

    附：简单复合函数求导法则为.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 在极坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的方程为．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．

    （1）求曲线，的直角坐标方程；

    （2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于，两点，求的值．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数

    （Ⅰ）当时，解不等式；

    （Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围

    难度: 中等查看答案及解析