湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 2 题，中等难度 13 题，困难题 8 题。总体难度: 中等

单选题共 12 题

设集合，，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数的取值范围是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　 D. 既不充分也不必要条件

难度: 中等查看答案及解析
下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆过点，则的面积为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
在中，，，，且是的外心，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知是函数图象的一个最高点，是与相邻的两个最低点.设，若，则的图象对称中心可以是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析
已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析
已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

设等差数列的前项和为，且,则__________．

难度: 简单查看答案及解析
为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设，，，，，六门选修课程，学校规定每个学生必须从这门课程中选门，且，两门课程至少要选门，则学生甲共有__________种不同的选法.

难度: 中等查看答案及解析
在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.

难度: 中等查看答案及解析
已知二次函数，且，若不等式恒成立，则的取值范围是__________.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

已知的内角，，的对边分别为，，.且.
（I）求；
（Ⅱ）若的面积为，周长为，求.

难度: 中等查看答案及解析
已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
（I）证明：平面平面；
（Ⅱ）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.
图一
图二

难度: 困难查看答案及解析
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，与轴相交于，，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂线、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：.

难度: 困难查看答案及解析
某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：

月份

广告投入量

收益

他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：

（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（Ⅱ）残差绝对值大于的数据被认为是异常数据，需要剔除：
（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程；
（ⅱ）若广告投入量时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
 ，.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，其中，设为导函数.
（Ⅰ）设，若恒成立，求的范围；
（Ⅱ）设函数的零点为，函数的极小值点为，当时，求证：.

难度: 困难查看答案及解析
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点.
（Ⅰ）求和的极坐标方程；
（Ⅱ）当时，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（Ⅰ）当，求的取值范围；
（Ⅱ）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析

月份
广告投入量
收益