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本卷共 23 题，其中：
填空题 14 题，单选题 4 题，解答题 5 题
简单题 11 题，中等难度 9 题，困难题 3 题。总体难度: 简单
填空题 共 14 题

  1. 复数的实部是______，虚部是______.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. ______.（为虚数单位）

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 复数在复平面内对应点位于第______象限.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有　　　　 ；（用数字作答）

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 在复数范围内方程的解是______.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有______种.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 所有由1，4，5，这4个互异正整数组成的无重复数字的四位数的各位数字之和为288，则正整数______.

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 某年数学竞赛邀请了一位来自星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题目就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题，然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答得题目则跳过（例如，他可以按照9、8、7、4、3、2、1、5、6、10的次序答题），这样所有题目均有作答，则这位选手可能的答题次序有______种.

    难度: 困难查看答案及解析

  10. 在北纬圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于（为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ .

    难度: 困难查看答案及解析

  11. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，若一甲壳虫由圆锥底面圆周上一点出发，贴着圆锥侧面爬行到母线的中点，其经过的最短路线长度是______.

    难度: 简单查看答案及解析

  12. 如果正三角形的边长为，那么的水平放置的直观图的面积为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  13. 判断下列四个命题：①直线在平面内，又在平面内，则、重合；②直线、相交，直线、相交，直线、相交，则直线、、共面；③线、共面，直线、共面，则直线、也共面；④线不在平面内，则直线与平面内任何一点都可唯一确定一个平面；其中假命题是______.（写出所有假命题的序号）

    难度: 中等查看答案及解析

  14. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）．有下列四个命题：

    A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

    B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点

    C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点

    D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满

    其中真命题的代号是：　　　　　　　　 （写出所有真命题的代号）．

    难度: 简单查看答案及解析

单选题 共 4 题

  1. 下列命题中错误的是（ ）

    A.过平面外一点可以作无数条直线与平面平行

    B.与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行

    C.若直线垂直平面内的两条相交直线，则直线必垂直平面

    D.垂直于同一个平面的两条直线平行

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是（ ）.

    A. B.2 C.4 D.8

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

    A. B.

    C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 如图，正三棱锥中，侧面与底面所成的二面角等于，动点在侧面内，底面，垂足为，，则动点的轨迹为（　　 ）

    A.线段 B.圆 C.一段圆弧 D.一段抛物线

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 5 题

  1. 参观团由13人组成，要选出2男1女分别担任团长、政委、联络员，所选女性不为团长，有2位男性不在候选人之列，已知选出且确定职务的方法有300种，求此团中男、女团员的人数.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图，在直三棱柱中，，.

    （1）下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图.

    （2）若是的中点，求四棱锥的体积.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知平行六面体，，，，，设，，.

    （1）试用、、表示；

    （2）求的长度.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 如图，在四棱锥中，为中点，侧棱，底面为直角梯形，其中，，平面，、分别是线段、上的动点，且.

    （1）求证：平面；

    （2）当三棱锥的体积取最大值时，求到平面的距离；

    （3）在（2）的条件下求与平面所成角.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点.

    （1）求证：平面；

    （2）求平面与平面所成锐二面角的大小；

    （3）在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析