湖南省长沙市2019届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 9 题，中等难度 12 题，困难题 2 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，，则（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则的离心率为（　）
A. B. 2 C. D.

难度: 简单查看答案及解析
高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（　）
A. ， B. ， C. ， D. ，

难度: 中等查看答案及解析
已知变量满足约束条件，则的最小值为（　）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

难度: 中等查看答案及解析
已知，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
在三棱锥中，底面，，，，，则三棱锥外接球的体积为（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，若的图像关于点对称，则的单调递减区间是（　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

已知函数，则______．

难度: 简单查看答案及解析
已知两个单位向量和夹角为，则______．

难度: 简单查看答案及解析
已知四棱锥的底面边长都为2，，，且，是的中点，则异面直线与所成的角为_______．

难度: 简单查看答案及解析
已知定义在上的偶函数，其图像连续不间断，当时，函数是单调函数，则满足的所有之积为______．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

已知数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列的前项和为，证明：.

难度: 简单查看答案及解析
某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示.

年龄

人数

100

150

200

50

已知，，三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.
（1）求的值；
（2）若将年龄在内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.

难度: 简单查看答案及解析
在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.
（1）证明：；
（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.

难度: 中等查看答案及解析
设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）证明：.

难度: 困难查看答案及解析
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中，.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线与曲线交于，两点，点，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，，.证明：.

难度: 中等查看答案及解析

年龄
人数	100	150		200		50