湖北省2019届高三月考（六）数学（理科）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 8 题，中等难度 8 题，困难题 7 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，若，则实数满足的集合为(　　 )
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知复数满足，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
下列说法正确的是(　　 )
A. 命题“，使”的否定为“，都有”
B. 命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为真命题
C. 命题“在锐角中，”为真命题
D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”

难度: 中等查看答案及解析
我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（　　）
A. ，　　 B. ，　　 C. ，　　 D. ，

难度: 中等查看答案及解析
已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，，则a，b，c的大小关系为(　　 )
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）
A. 70种 B. 140种 C. 840种 D. 420种

难度: 中等查看答案及解析
已知，则（　　）
A. 9 B. 36 C. 84 D. 243

难度: 中等查看答案及解析
已知变量满足约束条件，则的取值范围是(　　 )
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为(　　 )
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足，其中，则点P落在三角形里面的概率为(　　 )
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则=(　　 )
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

过双曲线的右焦点且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为__________．

难度: 简单查看答案及解析
设函数的导数为，且，则=______.

难度: 简单查看答案及解析
已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为______.

难度: 困难查看答案及解析
已知在平面四边形中，，，，，则四边形面积的最大值为__________．

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

设数列的前n项和为.满足，且，设
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n，有.

难度: 困难查看答案及解析
如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角为，试求的取值范围.

难度: 简单查看答案及解析
如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，，记四边形的内切圆为.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于P，M两点.
（i）求证：；
（ii）试探究是否为定值.

难度: 困难查看答案及解析
中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：

分数

人数

20

55

105

70

50

参加自主招生获得通过的概率

0.9

0.8

0.6

0.5

0.4

（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？

优等生

非优等生

总计

学习大学先修课程

没有学习大学先修课程

总计

（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为，求.
参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

参考公式：，其中.

难度: 中等查看答案及解析
设函数.
（1）若函数在区间（为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数的取值范围；
（2）若在（为自然对数的底数）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
已如直线的参数方程为（（为参数）.以原点为极点.轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程：
（2）若直线（，）与曲线相交于，两点，设线段的中点为，求的最大值.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

分数
人数	20	55	105	70	50
参加自主招生获得通过的概率	0.9	0.8	0.6	0.5	0.4

	优等生	非优等生	总计
学习大学先修课程
没有学习大学先修课程
总计

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879