河南省郑州市2019-2020学年高三上学期12月月考数学（理）试卷

试卷详情

本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 6 题，中等难度 12 题，困难题 5 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=
A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}

难度: 中等查看答案及解析
在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

难度: 简单查看答案及解析
已知向量，若，则的最小值为（　　）.
A.12 B. C.16 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知满足时, 的最大值为,则直线过定点（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
如图一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4

难度: 简单查看答案及解析
已知，则“”是“函数是奇函数”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析
郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有
A. 168种 B. 156种
C. 172种 D. 180种

难度: 中等查看答案及解析
已知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的
A.第44项 B.第76项 C.第128项 D.第144项

难度: 困难查看答案及解析
在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，棱的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积最小值为（　　）
A. B.1 C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数图象过点，且在区间上单调.又的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则（　　）
A. B. C.1 D.-1

难度: 中等查看答案及解析
如图，设抛物线的焦点为，过轴上一定点作斜率为的直线与抛物线相交于两点，与轴交于点，记面积为，面积为，若，则抛物线的标准方程为
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数，若关于的方程有六个不同的实根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

设双曲线左右顶点分别为A，B，点P是双曲线上，且异于A，B两点.O为坐标原点，若直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为________.

难度: 简单查看答案及解析
已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________.

难度: 简单查看答案及解析
已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点（包括边界），，则的取值范围为________.

难度: 中等查看答案及解析
瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为的欧拉三角形.如图，是的欧拉三角形（H为的垂心）.已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

数列的前项和为，已知，. 其中
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.

难度: 中等查看答案及解析
如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP为等边三角形．
(1)当PB长为多少时，平面平面ABCD?并说明理由；
(2)若二面角大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

难度: 简单查看答案及解析
已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为,且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过焦点斜率为（）的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

难度: 困难查看答案及解析
第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：

组别

频数

5

30

40

50

45

20

10

（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（参考数据：；；.）

难度: 中等查看答案及解析
已知函数（为自然对数的底数），是的导函数.
（Ⅰ）当时，求证；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

难度: 困难查看答案及解析
在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）写出曲线的普通方程;
（2）若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（Ⅰ）当，求的取值范围；
（Ⅱ）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析

组别
频数	5	30	40	50	45	20	10