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本卷共 22 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 6 题
简单题 7 题,中等难度 12 题,困难题 3 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. ,则有(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知命题:“,都有成立”,则命题为(  )

    A. ,有成立   B. ,有成立

    C. ,有成立   D. ,有成立

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知各项均为正数的等比数列中,公比,则(   )

    A. 2   B. 1   C.    D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知平面的法向量为,则直线与平面的位置关系为(   )

    A.    B.    C. 相交但不垂直   D.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 在下列各函数中,最小值等于2的函数是(   )

    A.    B. )   C.    D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 已知实数满足约束条件,则的最小值为(   )

    A.    B.    C. 8   D. 10

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 等差数列的前项和分别为,若,则(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知平面内的角,线段是平面的斜线段且,那么点到平面的距离是(   )

    A. 2   B.    C.    D. 1

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 过抛物线的焦点的直线交抛物线两点,以线段为直径的圆的圆心为,半径为,点的准线的距离与之积为25,则(   )

    A. 50   B. 40   C. 30   D. 20

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 数列的前项和为,且,若,则的最大值为(   )

    A. 10   B. 15   C. 18   D. 26

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点,是双曲线在第一象限上的点,直线分别交双曲线左、右支于另一点,若,且,则双曲线的渐近线方程为(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是_______.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知数列的前项和为,则_______________.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图,是正方体的棱上的一点,且平面,则异面直线所成角的余弦值为______.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在一点使得,则该椭圆的离心率的取值范围是______.

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 6 题
  1. 设命题:实数满足,其中,命题:实数满足.

    (1)若,且为真,求实数的取值范围;

    (2)若的充分不必要条件,求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知等差数列的前n项和为,且

    (1)求

    (2)设数列的前n项和为,求证:

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知为抛物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点).

    (1)求证:直线恒过定点;

    (2)直线在绕着定点转动的过程中,求弦中点的轨迹方程.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.

    (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?

    (2)为了抓住2022年冬奥会契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略改革,并提高定价到元.公司拟投入万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 如图,斜三棱柱中,为锐角,底面是以为斜边的等腰直角三角形,

    (1)证明:平面 平面

    (2)若直线与底面成角为,求二面角的余弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 如图,已知椭圆的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交椭圆两点,线段的中点为,直线交椭圆两点.

    (1)求椭圆的方程;

    (2)求证:点在直线上;

    (3)是否存在实数,使得?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.

    难度: 困难查看答案及解析