湖南省郴州市2019届高三第二次教学质量监测试卷数学（文）试卷

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本卷共 22 题，其中：
单选题 11 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 14 题，中等难度 6 题，困难题 2 题。总体难度: 简单

单选题共 11 题

已知集合，，则的元素个数是（　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

难度: 简单查看答案及解析
已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A. 240，18 B. 200，20
C. 240，20 D. 200，18

难度: 中等查看答案及解析
函数的部分图像大致是（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知等差数列的前项和为，且，，则（　）
A. 170 B. 190 C. 180 D. 189

难度: 简单查看答案及解析
双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
在中，，，，点满足，则等于（　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

难度: 简单查看答案及解析
下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果是（　）
A. -2018 B. 2018 C. 1009 D. -1009

难度: 简单查看答案及解析
已知实数满足：，若取得最小值的最优解有无数个，则实数的值是（　）
A. -1 B. 4 C. -1或 D. -1或4

难度: 简单查看答案及解析
已知函数，若函数至少有一个零点，则取值范围是（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

已知函数，则__________．

难度: 简单查看答案及解析
曲线在点处的切线的方程为__________．

难度: 简单查看答案及解析
已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为，离心率为，则椭圆的方程为____．

难度: 简单查看答案及解析
已知数列和满足，若数列为等比数列，且，.则数列的前项和__________．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

已知、、分别是内角、、的对边，
（1）求；
（2）若，，求的面积.

难度: 简单查看答案及解析
如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，侧面是边长为2的等边三角形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若侧面底面，求点到平面的距离.

难度: 简单查看答案及解析
研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离（单位：千米）和学生花费在上学路上的时间（单位：分钟）有如下的统计资料：

到学校的距离（千米）

1.8

2.6

3.1

4.3

5.5

6.1

花费的时间（分钟）

17.8

19.6

27.5

31.3

36.0

43.2

如果统计资料表明与有线性相关关系，试求：
（1）判断与是否有很强的线性相关性？
（相关系数的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到0.01）
（2）求线性回归方程（精确到0.01）；
（3）将分钟的时间数据称为美丽数据，现从这6个时间数据中任取2个，求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率.
参考数据：，，，，
，
参考公式：，

难度: 简单查看答案及解析
已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点
（1）若以，为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；
（2）过，分别作抛物线的切线，，证明：，的交点在定直线上.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数恒成立，求实数的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
已知极坐标系中，点，曲线的极坐标方程为，点在曲线上运动，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）求直线的普通方程与曲线的参数方程；
（2）求线段的中点到直线的距离的最小值.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的图像最低点为，正数满足，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

到学校的距离（千米）	1.8	2.6	3.1	4.3	5.5	6.1
花费的时间（分钟）	17.8	19.6	27.5	31.3	36.0	43.2