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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 8 题，中等难度 12 题，困难题 3 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题

  1. 已知集合，则（　　 ）

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（　　 ）

    A.2 B.1 C.-1 D.-2

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知向量不共线，若，则实数（　　 ）

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，并得到下表：

    分数段

    人数

    5

    15

    20

    10

    将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试数学成绩的中位数是 （　　 ）

    A.110 B.115 C.120 D.125

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 设分别为椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与相交于两点，若为正三角形，则 （　　 ）

    A. B. C. D.2

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 函数的最小值是（　　 ）

    A.3 B.4 C.5 D.6

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 已知变量的取值完全由变量的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好四个变量的取值，然后记录相应的变量的值，得到下表：

    试验编号

    ①

    1

    1

    1

    1

    4

    ②

    1

    1

    1

    2

    2

    ③

    1

    1

    2

    2

    1

    ④

    0

    2

    2

    2

    1

    则关于的表达式不可能是（　　 ）

    A. B.

    C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 对于函数的图象，下列说法正确的是 （　　 ）

    A.关于直线对称 B.关于直线对称

    C.关于点对称 D.关于点对称

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知数列的通项公式为，则数列的最大项是（　　 ）

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 执行如图所示的程序框图（其中表示除以后所得的余数），则输出的的值是 （　　 ）

    A.78 B.79 C.80 D.81

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知直角三角形 两直角边长之和为3，将绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为（　　 ）

    A. B. C. D.

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 设分别为双曲线的左、右焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线的右支相交于两点，与的渐近线相交于四点，若四边形的面积与四边形的面积相等，双曲线的离心率为（　　 ）

    A. B. C. D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 已知是向量，命题“若，则”的逆否命题是_______．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知等差数列的公差为，且，前面和为，若也成等差数列，则_____．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 关于的方程无实根，则实数的取值范围为___．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意成立，则实数的最小值为_____．此时，函数在区间上的图象与直线所围成的封闭图形的面积为______.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 如图，平面四边形中，.

    （1）求的长；

    （2）若，求的面积.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图，三棱柱中，，.

    （1）证明：；

    （2）若，点是的中点，求点到平面的距离.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知直线与圆相交于两点，为坐标原点.

    （1）当时，求；

    （2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 某人某天的工作是：驾车从地出发，到两地办事，最后返回地，三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如下表：

    路段

    正常行驶所需时间（小时）

    上午降水概率

    下午降水概率

    2

    0.3

    0.6

    2

    0.2

    0.7

    3

    0.3

    0.9

    若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时.

    现有如下两个方案：

    方案甲：上午从地出发到地办事，然后到达地， 下午在地办事后返回地；

    方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地，办事后返回地.设此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.

    现采用随机数表法获取随机数并进行随机模拟试验，按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，若到达某行最后一个数字，则从下一行最左侧数字继续读取，每次读取4位随机数，第1位数表示采取的方案，其中0-4表示采用方案甲，5-9表示采用方案乙；第2-4位依次分别表示当天行驶的三个路段上是否降水，若某路段降水概率为，则表示降水，表示不降水.（符号表示的数集包含）

    05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74

    07 97 10 88 23099842 99 64 61 71 6299 15 061 29 169358 05 77 05 91

    51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48

    26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94

    14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43

    （1）利用数据“5129”模拟当天的情况，试推算他当日办完事返回地的时间；

    （2）利用随机数表依次取出采用甲、乙方案的模拟结果各两组，分别计算甲、乙两个方案的平均时间，并回答哪个方案办完事后能尽早返回地.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数.

    （1）讨论的单调性；

    （2）求证：当时，对于任意，都有.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 在极坐标系中，直线的方程分别为，曲线.

    以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系.

    （1）将直线的方程与曲线的方程化成直角坐标方程；

    （2）过曲线上动点作直线的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知，且，求证：

    （1）；

    （2）

    难度: 中等查看答案及解析