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本卷共 21 题，其中：
选择题 10 题，解答题 11 题
中等难度 21 题。总体难度: 中等
选择题 共 10 题
  1. 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）
    A．18对
    B．24对
    C．30对
    D．36对

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）
    A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l
    B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
    C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
    D．n⊥α，n⊥β，m⊥α

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
    A．
    B．8π
    C．
    D．4π

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B-APQC的体积为（ ）
    A．
    B．
    C．
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）

    A．
    B．
    C．
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（ ）

    A．
    B．
    C．
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）
    A．3个
    B．4个
    C．6个
    D．7个

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱CC1与D1C1的中点，则直线EF与A1C1所成角正弦值是（ ）
    A．1
    B．
    C．
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 在空间直角坐标系O-xyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为（ ）
    A．2
    B．
    C．2
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
    A．
    B．2+
    C．4+
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 11 题
  1. 下面是关于三棱锥的四个命题：
    ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
    ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
    ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
    ④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
    其中，真命题的编号是________．（写出所有真命题的编号）

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 正三棱锥P-ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是 ________．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于________．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知球面上A、B两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的夹角为60°，则这个球的表面积与球的体积之比是 ________．

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
    ①四边形BFD′E一定是平行四边形；
    ②四边形BFD′E有可能是正方形；
    ③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
    ④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
    以上结论正确的为________．（写出所有正确结论的编号）

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
    1）求证AB⊥面VAD；
    2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2．
    （Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
    （Ⅱ）求二面角O-AC-O1的大小．

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
    （Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
    （Ⅱ）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
    （Ⅲ）在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F．
    （1）求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；
    （2）求直线AA1到平面B1BCC1的距离．

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 如图直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
    （1）求的大小（用反三角函数表示）；
    （2）设=（1，p，q），满足⊥平面SBC，求：
    ①的坐标；
    ②OA与平面SBC的夹角β（用反三角函数表示）；
    ③O到平面SBC的距离．
    （3）设
    ①的坐标为______．
    ②异面直线SC、OB的距离为______

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
    （1）求的长；
    （2）求，＞的值；
    （3）求证A1B⊥C1M．

    难度: 中等查看答案及解析