河南省林州市2017-2018学年高二5月月考数学（理）试卷

甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是__________．

难度: 中等查看答案及解析

命题：，的否定为_____．

难度: 简单查看答案及解析

一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为__________．

难度: 困难查看答案及解析

一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为__________．

【答案】

【解析】如图，不妨设在处， ，
则有 由
该直角三角形斜边

故答案为.

【题型】填空题
【结束】
16

已知函数f（x）＝，g（x）＝，若函数y＝f（g（x））＋a有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则2g（x1）＋g（x2）＋g（x3）的取值范围为______．

难度: 困难查看答案及解析

已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{x｜，x∈N}，则＝

A. {1，2}　　 B. {1，3，4，7}　　 C. {1，4，7}　　 D. {3，4，5，6，7}

难度: 简单查看答案及解析

已知i为虚数单位，（1＋i）x＝2＋yi，其中x，y∈R，则｜x＋yi｜＝

A. 2　　 B. 2　　 C. 4　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

函数f（x）＝（x≤0），其值域为D，在区间（－1，2）上随机取一个数x，则x∈D 的概率是

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

点B是以线段A C为直径的圆上的一点，其中｜AB｜＝2，则

A. 1　　 B. 3　　 C. 4　　 D. 2

难度: 中等查看答案及解析

x，y满足约束条件：则z＝2x＋y的最大值为

A. －3　　 B. 3　　 C. 4　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

程序框图如图所示，该程序运行的结果为s＝25，则判断框中可填写的关于i的条件是

A. i≤4 ?　　 B. i≤5 ?

C. i≥5 ?　　 D. i≥4 ?

难度: 中等查看答案及解析

南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积．”（即：S＝ ，a＞b＞c），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何?”则该三角形田面积为

A. 82平方里　　 B. 84平方里

C. 85平方里　　 D. 83平方里

难度: 简单查看答案及解析

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A. 8＋3π　　 B. 8＋5π

C. 8＋6π　　 D. 8＋4π

难度: 中等查看答案及解析

已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（　　 ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为

A. 　　 B. 3　　 C. 4　　 D. 2

难度: 困难查看答案及解析

过抛物线y＝焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝－1上，若△ABC为正三角形，则其边长为

A. 11　　 B. 13　　 C. 14　　 D. 12

难度: 困难查看答案及解析

设xOy，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox正方向到正方向的角度为θ，那么对于任意的点M，在xOy下的坐标为（x，y），那么它在坐标系下的坐标（，）可以表示为：＝xcosθ＋ysinθ，＝ycosθ－xsinθ．根据以上知识求得椭圆3－＋－1＝0的离心率为

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析

已知函数f（x）＝，g（x）＝，若函数y＝f（g（x））＋a有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则2g（x1）＋g（x2）＋g（x3）的取值范围为______．

【答案】

【解析】

首先研究函数和函数的性质，然后结合韦达定理和函数的性质求解2g（x1）＋g（x2）＋g（x3）的取值范围即可.

由题意可知：，

将对勾函数的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可得到函数的图象，其图象如图所示：

由可得，

据此可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，

绘制函数图象如图所示：

则的最大值为，，

函数y＝f（g（x））＋a有三个不同的零点，则，

令，则，

整理可得：，由韦达定理有：.

满足题意时，应有：，，

故.

【点睛】

本题主要考查导数研究函数的性质，等价转化的数学思想，复合函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

【题型】填空题
【结束】
17

已知等比数列{}的前n项和为，且满足2＝＋m（m∈R）．

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}满足，求数列{}的前n项和．

难度: 中等查看答案及解析

已知等比数列{}的前n项和为，且满足2＝＋m（m∈R）．

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}满足，求数列{}的前n项和．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)法一：由前n项和与数列通项公式的关系可得数列的通项公式为；

法二：由题意可得，则，据此可得数列的通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，裂项求和可得.

(Ⅰ)法一：

由得，

当时，，即，

又，当时符合上式，所以通项公式为.

法二：

由得

从而有，

所以等比数列公比，首项，因此通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

，

.

【点睛】

本题主要考查数列前n项和与通项公式的关系，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

【题型】解答题
【结束】
18

四棱锥S－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形．

（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求实数λ的值；

（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．

难度: 中等查看答案及解析

四棱锥S－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形．

（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求实数λ的值；

（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由线面平行的性质定理可得，据此可知四边形BCDM为平行四边形，据此可得.

（Ⅱ）由几何关系，在平面内过点作直线于点，以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立空间坐标系，据此可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，据此计算可得二面角余弦值为.

（Ⅰ）因为平面SDM, 平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以，

因为,所以四边形BCDM为平行四边形，又,所以M为AB的中点.

因为 .

（Ⅱ）因为 ， ，所以平面，又因为平面，

所以平面平面，平面平面，

在平面内过点作直线于点，则平面，

在和中，因为，所以，

又由题知，所以所以，

以下建系求解.以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系，

则，，，，，

，，，，

设平面的法向量，则，所，

令得为平面的一个法向量，

同理得为平面的一个法向量，

，因为二面角为钝角.

所以二面角余弦值为.

【点睛】

本题考查了立体几何中的判断定理和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

【题型】解答题
【结束】
19

小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．

（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；

（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（，]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50＋2n单．若将频率视为概率，回答下列问题：

①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；

②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由。

（参考数据：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

难度: 中等查看答案及解析

小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．

（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；

（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（，]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50＋2n单．若将频率视为概率，回答下列问题：

①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；

②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由。

（参考数据：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

【答案】（Ⅰ）甲方案的函数关系式为： ，乙方案的函数关系式为：；（Ⅱ）①见解析，②见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意可得甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ， 乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：.

（Ⅱ）①由题意求得X的分布列，据此计算可得，，.

②答案一：由以上的计算可知，远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

答案二：由以上的计算结果可以看出，，所以小明应选择乙方案.

（Ⅰ）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ，

乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：

（Ⅱ）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：

所以的分布列为：

所以

所以的分布列为：

所以

②答案一：由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

答案二：由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，数学期望与方差的含义与实际应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

【题型】解答题
【结束】
20

已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2＝90°时，△F1MF2的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．

难度: 困难查看答案及解析

已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2＝90°时，△F1MF2的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意可求得，则，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，

当直线的斜率不存在或直线的斜率不存在时，.

当直线、的斜率存在时，,设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理计算可得直线的斜率为，直线的斜率为，则.综上可得：直线与的斜率之积为定值.

（Ⅰ）设由题，

解得，则，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，当直线的斜率不存在时，

设，则，直线的方程为代入，

可得 ，，则,

直线的斜率为，直线的斜率为，

，

当直线的斜率不存在时，同理可得.

当直线、的斜率存在时，设直线的方程为，

则由消去可得：，

又，则，代入上述方程可得:

，，

则　 ，

设直线难度: 困难查看答案及解析

已知函数f（x）＝（x＋b）（－a），（b＞0），在（－1，f（－1））处的切线方程为（e－1）x＋ey＋e－1＝0．

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）若方程f（x）＝m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，证明：x2－x1≤1＋．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意利用导函数研究函数的切线方程，得到关于a,b的方程组，求解方程组并检验可得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则在(-1，0)处的切线方程为，构造函数，结合新构造函数的性质分类讨论即可证得题中的不等式.

（Ⅰ）由题意，所以，

又，所以，

若，则，与矛盾，

故，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，

设在(-1，0)处的切线方程为，易得，，

令即，，

当时，，

当时，设， ，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故.

，设的根为，则又函数单调递减，

故，故，

设在(0,0)处的切线方程为，

易得令，，

当时，，

当时，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，难度: 中等查看答案及解析

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为，

，消去参数可知曲线是圆心为，半径为的圆，由直线与曲线相切，可得：；则曲线C的方程为， 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得

可得曲线C的极坐标方程.

(2)由（1）不妨设M（），，（），

，　　　

，　　　　

由此可求面积的最大值.

（1）由题意可知直线的直角坐标方程为，

曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：；可知曲线C的方程为，

所以曲线C的极坐标方程为，

即.

(2)由（1）不妨设M（），，（），

，　　　

，　　　　

当 时， ，

所以△MON面积的最大值为.

【题型】解答题
【结束】
23

已知函数的定义域为；

（1）求实数的取值范围；

（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值．

难度: 困难查看答案及解析