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本卷共 23 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 7 题
简单题 23 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. 已知集合,若,则的值为(   )

    A. 1   B. -1   C.    D. 2

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 命题的否定是(   )

    A.    B.

    C.    D.

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  3. 为虚数单位,若复数的实部与虚部互为相反数,则(   )

    A. -5   B.    C. -1   D.

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  4. 已知变量之间的线性回归方程为,且变量之间的一组关系数据如下表所示,则下列说法错误的是(   )

    A. 变量之间呈现负相关关系   B. 可以预测,当时,

    C.    D. 由表格数据知,该回归直线必过点

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  5. 在等差数列中,,则

    A. 8   B. 12

    C. 16   D. 20

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  6. 在同一直角坐标系中,函数,且)的图象大致为(   )

    A.    B.    C.    D.

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  7. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会,如图1所示,当时的人类用在绳子上打结的方法来记数,并以绳结的大小来表示野兽的大小,即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结,请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为(   )

    A. 336   B. 510   C. 1326   D. 3603

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  8. 执行如图所示的程序框图,则输出的(   )

    A.    B.    C. 4   D. 5

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  9. 若函数)在上单调递增,则实数的取值范围为(   )

    A.    B.

    C.    D.

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  10. 已知变量满足,若方程有解,则实数的最小值为(   )

    A.    B.    C.    D.

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  11. 将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,若,则实数的最小值为(   )

    A.    B.    C.    D.

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  12. 已知关于的不等式上恒成立,则实数的取值范围为(   )

    A.    B.    C.    D.

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填空题 共 4 题
  1. 已知向量,满足,则夹角的余弦值为__________.

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  2. 双曲线的离心率为2,其渐近线与圆相切,则该双曲线的方程为__________.

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  3. 已知球面上有四个点,球心为点上,若三棱锥的体积的最大值为,则该球的表面积为__________.

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  4. 中,内角所对的边分别为,已知,则的最大值为__________.

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解答题 共 7 题
  1. 已知正项等比数列的前项和为,且.

    (Ⅰ)求数列的通项公式;

    (Ⅱ)若,数列的前项和为,求满足的正整数的最小值.

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  2. 新鲜的荔枝很好吃,但摘下后容易变黑,影响卖相.某大型超市进行扶贫工作,按计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝,每天进货量相同且每公斤20元,售价为每公斤24元,未售完的荔枝降价处理,以每公斤16元的价格当天全部处理完.根据往年情况,每天需求量与当天平均气温有关.如果平均气温不低于25摄氏度,需求量为公斤;如果平均气温位于摄氏度,需求量为公斤;如果平均气温位于摄氏度,需求量为公斤;如果平均气温低于15摄氏度,需求量为公斤.为了确定6月1日到30日的订购数量,统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据,得到如图所示的频数分布表:

    平均气温

    天数

    2

    16

    36

    25

    7

    4

    (Ⅰ)假设该商场在这90天内每天进货100公斤,求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润(结果取整数);

    (Ⅱ)若该商场每天进货量为200公斤,以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天该商场不亏损的概率.

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  3. 如图, 是边长为3的等边三角形,四边形为正方形,平面平面.点分别为上的点,且,点上的一点,且.

    (Ⅰ)当时,求证: 平面

    (Ⅱ)当时,求三棱锥的体积.

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  4. 已知椭圆的离心率为,且椭圆过点.过点做两条相互垂直的直线分别与椭圆交于四点.

    (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

    (Ⅱ)若,探究:直线是否过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.

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  5. 已知函数.

    (Ⅰ)若函数有两个零点,求的取值范围;

    (Ⅱ)证明:当时,关于的不等式上恒成立.

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  6. 选修4-4:坐标系与参数方程

    在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

    (Ⅰ)求出曲线的参数方程;

    (Ⅱ)若分别是曲线上的动点,求的最大值.

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  7. 选修4-5:不等式选讲

    已知函数.

    (Ⅰ)解不等式:

    (Ⅱ)当时,函数的图象与轴围成一个三角形,求实数的取值范围.

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