山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 2 题，中等难度 15 题，困难题 6 题。总体难度: 中等

单选题共 12 题

复数（其中为虚数单位）的虚部为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
若集合，，则的一个充分不必要条件是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（　　）
A. ，　　 B. ，
C. ，　　 D. ，

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（　　）
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为（　　）
A. 4　　 B. 2　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知变量，满足约束条件，若，则的取值范围是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数的最小正周期为，且，则（　　）
A. 在上单调递减　　 B. 在上单调递增
C. 在上单调递增　　 D. 在上单调递减

难度: 中等查看答案及解析
某程序框图如图所示，该程序运行后输出，的值分别为（　　）
A. 13，21　　 B. 34，55　　 C. 21，13　　 D. 55，34

难度: 中等查看答案及解析
设函数，则使得成立的的取值范围是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析
设，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则此双曲线的离心率为
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析
设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

已知向量，，若与平行，则实数的值是__________．

难度: 中等查看答案及解析
某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为__________．

难度: 中等查看答案及解析
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含项的系数为__________．

难度: 中等查看答案及解析
如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：
原点处标数字0，记为；点处标数字1，记为；
点处标数字0，记为；点处标数字-1，记为；
点处标数字-2，记为；点处标数字-1，记为；
点处标数字0，记为；点处标数字1，记为；
…
以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（，均为整数），记，则__________．

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）证明：；
（2）若，且的面积为，求.

难度: 中等查看答案及解析
如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面.如图2，点为中点，点在线段上（不同于，两点），连接并延长至点，使.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.

难度: 中等查看答案及解析
2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.
表1：设备改造后样本的频数分布表
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.
附：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

难度: 中等查看答案及解析
在平面直角坐标系中，抛物线：，直线与抛物线交于，两点.
（1）若直线，的斜率之积为，证明：直线过定点；
（2）若线段的中点在曲线：上，求的最大值.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数有两个不同的零点.
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，证明： .

难度: 困难查看答案及解析
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值.

难度: 中等查看答案及解析
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635