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本卷共 22 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 6 题
简单题 7 题,中等难度 12 题,困难题 3 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. 已知空间向量,则等于(   )

    A.    B. 2   C.    D. 1

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 函数从1到的平均变化率为,则实数的值为(   )

    A. 10   B. 9   C. 8   D. 7

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知点和向量,且方向相反,则点坐标为(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知函数,则等于(   )

    A.    B.    C.    D. 1

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 曲线与直线所围成图形的面积为(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 分别是平面的法向量,下列命题是真命题的是(   )

    A. 若,则

    B. 若,则

    C. 若,则

    D. 若,则

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 在长方体中,中点,则(   )

    A.    B.

    C.    D.

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 已知空间三点,四边形是平行四边形,则(   )

    A.    B.    C.    D. 8

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 已知向量,且互相垂直,则的值是(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 若平面的一个法向量为,则点到平面的距离为(   )

    A. 1   B. 2   C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,,平面平面的中点,的中点,则直线与平面所成角的正弦值是(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 在直角中,,点分别在边上,且,沿着折起至的位置,使得平面与平面所成二面角的平面角为(其中点为点翻折后对应的点),则四棱锥的体积的最大值为(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 已知函数,则__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知,则的最小值为__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图,在长方体中,,点在棱上.若二面角的大小为,则__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 若函数上有2个零点,则的取值范围是__________.

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 6 题
  1. 已知函数.

    (1)求函数的导函数

    (2)求过点且与曲线相切的直线方程.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图,直三棱柱中,,点的中点,点上,且.

    (1)求与平面所成角的正弦值;

    (2)求二面角的余弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知函数,且为函数的极值点.

    (1)求实数的值;

    (2)若当时,存在实数使得不等式成立,求实数的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 如图,在四棱锥中,已知底面,异面直线所成角等于.

    (1)求直线和平面所成角的正弦值;

    (2)在棱上是否存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的正切值为?若存在,指出点在棱上的位置;若不存在,说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. (题文)如图所示,有三座城市,城在城的正西方向,且两座城市之间的距离为城在城的正北方向,且两座城市之间的距离为.由城到城只有一条公路,甲有急事要从城赶到城,现甲先从城沿公路步行到点(不包括两点)处,然后从点处开始沿山路赶往城.若甲在公路上步行速度为每小时,在山路上步行速度为每小时,设(单位:弧度),甲从城赶往城所花的时间为(单位:).

    (1)求函数的表达式,并求函数的定义域;

    (2)当点在公路上何处时,甲从城到达城所花的时间最少,并求所花的最少的时间的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知函数.

    (1)若曲线在点处的切线与圆相切,求的值;

    (2)若函数上存在极值,求的取值范围;

    (3)若函数有两个零点,求的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析