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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 6 题，中等难度 12 题，困难题 5 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题

  1. 设全集，集合，，则（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 若复数是纯虚数，其中是实数，则（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 下列命题正确的是（　　 ）

    A. 命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；

    B. 命题“若，则”的逆否命题为真命题；

    C. “”是“”成立的必要不充分条件；

    D. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（　　 ）

    注：，.

    A. 6038　　 B. 6587　　 C. 7028　　 D. 7539

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知数列满足，且，则（　　 ）

    A. -3　　 B. 3　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 1

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 偶函数和奇函数的图象如图所示，若关于的方程，的实根个数分别为、，则（　　 ）

    A. 16　　 B. 14　　 C. 12　　 D. 10

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　 ）

    A. 14　　 B. 15　　 C. 16　　 D. 17

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 已知，若，则（　　 ）

    A. -5　　 B. -20　　 C. 15　　 D. 35

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 12

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 平面向量，，若向量与共线，则__________．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知，满足不等式组，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 设数列满足，，若使得，则正整数__________．

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称.

    （Ⅰ）求函数的解析式，并求的单调递减区间；

    （Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，若，且，，求外接圆的面积.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上一动点.

    （Ⅰ）求证：当点为线段的中点时，平面；

    （Ⅱ）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 手机中的“运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的朋友圈里有大量好友参与了“运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：

    男

    0

    2

    4

    7

    2

    女

    1

    3

    7

    3

    1

    （Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有名，求的分布列和数学期望；

    （Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

    积极型

    消极型

    总计

    男

    女

    总计

    附：.

    0.10

    0.05

    0.025

    0.01

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线相交于、两点，且.

    （Ⅰ）求抛物线的方程；

    （Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、.如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数.

    （Ⅰ）讨论的单调性；

    （Ⅱ）若，求证：.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为.以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，且）.

    （Ⅰ）写出圆的极坐标方程和直线的普通方程；

    （Ⅱ）若直线与圆交于、两点，求的最小值.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 设不等式的解集为.

    （Ⅰ）求集合；

    （Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析