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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 5 题，中等难度 16 题，困难题 2 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题

  1. 已知集合，，则

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知复数是虚数单位，，则＝

    A. 　　 B. 　　 C. 0　　 D. 2

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 如图，是平面四边形各边中点，若在平面四边形中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图，已知正方体的棱长为2，则以下四个命题中错误的是

    A. 直线与为异面直线　　 B. 平面

    C. 　　 D. 三棱锥的体积为

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 在边长为2的等边三角形中，若，则

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 已知函数，命题 的图象关于点对称；命题 在区间上为减函数，则

    A. 为真命题　　 B. 为假命题

    C. 为真命题　　 D. 为假命题

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 我国古代著名的“物不知数”问题：“今有物其数大于八，二二数之剩一，三三数之剩一，五五数之剩二，问物几何？”即“已知大于八的数，被二除余一，被三除余一，被五除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 若，，，则的大小关系为

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知，，点在圆上运动，若△的面积的最小值为，则实数的值为

    A. 或　　 B. 或　　 C. 或　　 D. 或

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 在两直角边分别为，斜边为的直角三角形中，若，，则实数的取值范围是

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知某几何体的三视图如图所示，其正视图是腰长为的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知函数 ，当时，对于任意的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 设实数满足约束条件则的最大值为______．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则＝______．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 设，则＝__．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，是的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是______________．

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知正项数列的前n项和为，，且．

    （1）求数列的通项公式；

    （2）若数列满足，，求数列的前项和．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 在四棱锥中，．

    （1）设与相交于点，，且平面，求实数的值；

    （2）若且, 求二面角的正弦值．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 在平面直角坐标系中，已知，若直线⊥于点，点是直线上的一动点，是线段的中点，且，点的轨迹为曲线．

    （1）求曲线的方程；

    （2）过点作直线交于点，交轴于点，过作直线，交于点．试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．

    　　

    图1　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　 图2

    （1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；

    （2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：

    5.5

    8.7

    1.9

    301.4

    79.75

    385

    ①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；

    ②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．

    附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；

    ②参考数据：．

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数.

    （1）当时，恒成立，求实数的取值范围；

    （2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

    （1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

    （2）若直线与曲线交于两点，求.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数，，．

    （1）当时，解关于的不等式；

    （2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

    难度: 中等查看答案及解析