2011年湖南省高三第一次学情摸底考试数学卷

某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，从中抽取200 名职员作为样本，若每人被抽取的概率为0．2，则该单位青年职员的人数为____________．

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从颜色不同的5 个球中任取4 个放入3 个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的方法总数为____________．（用数字作答）

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函数的反函数是________．

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设是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：

①若；

②若；

③若l上有两点到的距离相等，则l//；

④若．

其中正确命题的序号是____________．

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已知函数是R 上的偶函数，且在（0，+）上有（x）> 0，若f（－1）= 0，那么关于x的不等式x f（x）< 0 的解集是____________．

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设向量若直线沿向量平移，所得直线过双曲线的右焦点，

（i）=________

（ii）双曲线的离 心率e=．

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对正整数n，设曲线处的切线与y轴交点的纵坐标为，

（i）=________

（ii）数列的前n项和S_n=________

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已知集合则下列结论正确的是（    ）

A．                  B．

C．               D．

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已知等于                            （    ）

A．0              B．－1            C．2              D．1

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“x>1”是“”成立的                                              （    ）

A．充要条件                         B．必要不充分条件

C．充分不必要条件                   D．既不充分又不必要条件

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的最大值 和最小正周期分别是            （    ）A．  B．2，2π                  C．，2π      D．1，2π

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已知实数，满足约束条件则的取值范围是            （    ）

A．[1，2]         B．[0，2]         C．[1，3]         D．[0，1]

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设恒成立，那么                         （    ）

A．          B．a>1            C．      D．a<1

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若的展开式中的二项式系数之和为256，则展开式中x⁴的系数为       （    ）

A．6              B．7              C．8              D．9

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如右图，在平面直角坐标系xoy 中，A（1，0），B（1，1），

C（0，1），映射f 将xOy 平面上的点P（x，y）对应到另一

个平面直角坐标系uo′v 上的点P′（2xy，x² – y²），则当点

轨迹是                                      （    ）

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（本小题满分12 分）

已知函数的最大值为1．

（1）求常数a 的值；

（2）求的单调递增区间；

（3）求≥ 0 成立的x 的取值集合．

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（本小题满分12 分）

从甲地到乙地一天共有A、B 两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A 班车正点到达乙地的概率为0．7，B 班车正点到达乙地的概率为0．75。

（1）有三位游客分别乘坐三天的A 班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）。

（2）有两位游客分别乘坐A、B 班车，从甲地到乙地，求其中至少有1 人正点到达的概率（答案用数字表示）。

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（本小题满分12 分）

已知{ }是整数组成的数列，a₁ = 1，且点在函数的图象上，

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若数列{}满足 = 1，，求证：

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（本小题满分13 分）

如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

（1）求证：MN//平面PBD；

（2）求证：AQ⊥平面PBD；

（3）求二面角P—DB—M 的大小．

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（本题满分13 分）

已知椭圆的右焦点F 与抛物线y² = 4x 的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点，点C 在右准线l 上，BC//x 轴．

（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；

（2）求证：线段EF被直线AC 平分．

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（本题满分13 分）

已知函数

（1）若在的图象上横坐标为的点处存在垂直于y 轴的切线，求a 的值；

（2）若在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a 取值范围；

（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数的图象与函数的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m 的值；若不存在，说明理由．

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