2017届湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学（理）试卷（解析版）

已知集合，，则（　　 ）

A．　　 B．　　 C．　　 D．

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已知（是虚数单位），则等于（　　 ）

A．-1　　 B．1　　 C．0　　 D．

难度: 简单查看答案及解析

设变量满足约束条件，则的取值范围是（　　 ）

A．　　 B．　　 C．　　 D．

难度: 简单查看答案及解析

等比数列中，，函数，则（　　 ）

A．　　 B．　　 C．　　 D．

难度: 中等查看答案及解析

已知函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位后得到函数的图象，则函数的图象（　　 ）

A．关于直线对称　　 　　　　　　　　　　　　 B．关于直线对称

C．关于点对称　　　　　　　　　　　　　　　　 D．关于点对称

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已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为（　　 ）

A．　　 B．　　 C．　 　 D．

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执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则判断框内可填入的条件是（　　 ）

A．　　 B．　　 C．　　 D．

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某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　 ）

A．　　 B．　　 C．　 　 D．

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已知，若，则的值为（　　 ）

A．0　　 B．-1　　 C．1　　 D．

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一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0,1,2,2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为（　　 ）

A．　　 B．　　 C．　　 D．

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已知直线与曲线相交于，且曲线在处的切线平行，则实数的值为（　　 ）

A．4　　 B．4或-3　　 C．-3或-1　　 D．-3

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数列满足，且，则的整数部分的所有可能值构成的集合是（　　 ）

A．　　 B． 　　 C．　　 D．

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已知，则二项式的展开式中的系数为　　　　　　 .

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已知等差数列的前项和满足，数列的前2016项的和

为　　　　　　 .

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已知是的中线，，，则的最小值是　　　　　　 .

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已知函数，若对任意的，，恒有

成立，则实数的取值范围是　　　　　　 .

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已知中，，，.

（1）若，求的大小；

（2）若，求的面积.

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长郡中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望和方差.

参考公式：，其中.

参考数据：

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在四棱锥中，设底面是边长为1的正方形，面.

（1）求证：；

（2）过且与直线垂直的平面与交于点，当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小.

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已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）若斜率为的直线与圆相切，直线与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，是坐标原点，且时，求的取值范围.

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已知函数.

（1）当时，求的单调性；

（2）若，且方程有两个不相等的实数根，求证：.

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如图，四边形外接于圆，是圆周角的角平分线，过点的切线与延长线交于点，交于点.

（1）求证：；

（2）若是圆的直径，，求的长.

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以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，3为半径.

（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；

（2）设直线与圆相交于两点，求.

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（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；

（2）已知正数满足，求的最小值.

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