2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷解析版）

试卷详情

本卷共 24 题，其中：
选择题 12 题，填空题 4 题，解答题 8 题
简单题 8 题，中等难度 14 题，困难题 2 题。总体难度: 简单

选择题共 12 题

设集合，，则（　　）
A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

难度: 简单查看答案及解析
某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　）
A．167　　　　　　　　　　　　 B．137　　　　　　　　　　　　 C．123　　　　　　　　　　　　 D．93

难度: 简单查看答案及解析
如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（　　）
A．5　　　　　　　　　　　　　　　 B．6　　　　　　　　　　　　　　　 C．8　　　　　　　　　　　　　　　 D．10

难度: 简单查看答案及解析
二项式的展开式中的系数为15，则（　　）
A．4　　　　　　　　　　　　　　　　 B．5　　　　　　　　　　　　　　　　 C．6　　　　　　　　　　　　　　　　 D．7

难度: 中等查看答案及解析
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）
A．　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　 D．

难度: 中等查看答案及解析
“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件　　　
C．充分必要条件　　　　　 D．既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析
对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（　　）
A．　　　　　　　　　　　　　　　
B．
C．　　　　　　　　　　　　　
D．

难度: 中等查看答案及解析
根据右边的图，当输入为时，输出的（　　）
A．28　　　　　　　　　　　　 B．10　　　　　　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　　　 D．2

难度: 简单查看答案及解析
设，若，，，则下列关系式中正
确的是（　　）
A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

难度: 简单查看答案及解析
某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限
额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润
为（　　）

甲

乙

原料限额

（吨）

（吨）

A．12万元　　　　　　　　　 B．16万元　　　　　　　　　　 C．17万元　　　　　　　　　　 D．18万元

难度: 中等查看答案及解析
设复数，若，则的概率为（　　）
A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

难度: 中等查看答案及解析
对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是（　　）
A．是的零点　　　　　　　　　　　 B．1是的极值点
C．3是的极值　　　　　　　　　　　　 D．点在曲线上

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为　　　　　　．

难度: 简单查看答案及解析
若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则　　　　　．

难度: 中等查看答案及解析
设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为　　　　．

难度: 简单查看答案及解析
如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为　　　　．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 8 题

（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与
平行．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面积．

难度: 中等查看答案及解析
（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

难度: 中等查看答案及解析
（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：

（分钟）

25

30

35

40

频数（次）

20

30

40

10

（Ⅰ）求的分布列与数学期望；
（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授
从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

难度: 中等查看答案及解析
（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

难度: 中等查看答案及解析
（本小题满分12分）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．
（Ⅰ）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较
与的大小，并加以证明．

难度: 中等查看答案及解析
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，求的直径．

难度: 中等查看答案及解析
（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极
轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出的直角坐标方程；
（Ⅱ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．

难度: 中等查看答案及解析
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式的解集为．
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求的最大值．

难度: 困难查看答案及解析

	甲	乙	原料限额
（吨）
（吨）

（分钟）	25	30	35	40
频数（次）	20	30	40	10