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本卷共 26 题,其中:
填空题 14 题,解答题 12 题
简单题 6 题,中等难度 12 题,困难题 8 题。总体难度: 中等
填空题 共 14 题
  1. 已知集合,则集合__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知复数满足为虚数单位),则__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 双曲线的渐近线方程为__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 某中学共有人,其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人,其中高二年级被抽取的人数为,则__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字)先后抛掷次,观察其朝下一面的数字,则两次数字之和等于的概率为__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 如图是一个算法的流程图,则输出的值是__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 若正四棱锥的底面边长为,侧面积为,则它的体积为__________

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 是等差数列的前项和,若,则__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知,且,则的最小值是__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 设三角形的内角的对边分别为,已知,则__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知函数是自然对数的底).若函数的最小值是,则实数的取值范围为__________.

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 中,点是边的中点,已知,则__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  13. 已知直线轴交于点,点在直线上,圆上有且仅有一个点满足,则点的横坐标的取值集合为__________.

    难度: 困难查看答案及解析

  14. 若二次函数 在区间上有两个不同的零点,则的取值范围为_____.

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 12 题
  1. 已知向量.

    (1)若角的终边过点,求的值;

    (2)若,求锐角的大小.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图,正三棱柱的高为,其底面边长为.已知点分别是棱的中点,点是棱上靠近的三等分点.

    求证:(1)平面

    (2)平面.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知椭圆 经过点,点是椭圆的下顶点.

    (1)求椭圆的标准方程;

    (2)过点且互相垂直的两直线与直线分别相交于两点,已知,求直线的斜率.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径是圆心,且.在上有一座观赏亭,其中.计划在上再建一座观赏亭,记.

    (1)当时,求的大小;

    (2)当越大,游客在观赏亭处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时,角的正弦值.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数.

    (1)若,且恒成立,求实数的取值范围;

    (2)若,且函数在区间上是单调递减函数.

    ①求实数的值;

    ②当时,求函数的值域.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 已知是数列的前n项和,,且

    (1)求数列的通项公式;

    (2)对于正整数,已知成等差数列,求正整数的值;

    (3)设数列前n项和是,且满足:对任意的正整数n,都有等式成立.求满足等式的所有正整数n.

    难度: 困难查看答案及解析

  7. 如图,是圆的直径,为圆上一点,过点作圆的切线交的延长线于点,且满足.

    (1)求证:

    (2)若,求线段的长.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 已知矩阵,列向量.

    (1)求矩阵

    (2)若,求的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 已知都是正数,且,求证:.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 如图,在四棱锥中,底面是矩形,垂直于底面,点为线段(不含端点)上一点.

    (1)当是线段的中点时,求与平面所成角的正弦值;

    (2)已知二面角的正弦值为,求的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 在含有个元素的集合中,若这个元素的一个排列(,…,)满足,则称这个排列为集合的一个错位排列(例如:对于集合,排列的一个错位排列;排列不是的一个错位排列).记集合的所有错位排列的个数为.

    (1)直接写出的值;

    (2)当时,试用表示,并说明理由;

    (3)试用数学归纳法证明:为奇数.

    难度: 困难查看答案及解析