2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷解析版）

为虚数单位，的共轭复数为（　　 ）

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　 D．

难度: 简单查看答案及解析

我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　 ）

A．134石　　　　　　　 B．169石　　　　　　　 C．338石　　　　　　　　 D．1365石

难度: 简单查看答案及解析

已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　 ）

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

难度: 中等查看答案及解析

设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（　　 ）

A．　　　　　　　　　　　　　　

B．

C．对任意正数，　　　　　　　

D．对任意正数，

难度: 简单查看答案及解析

设，．若p：成等比数列；

q：，则（　　 ）

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件　　　　　　　　　　

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

难度: 中等查看答案及解析

已知符号函数 是上的增函数，，则（　　 ）

A．　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　 D．

难度: 简单查看答案及解析

在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （　　 ）

A．　　　　 B．　　

C．　　　　 D．

难度: 困难查看答案及解析

将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（　　 ）

A．对任意的，　　　　　　　

B．当时，；当时，

C．对任意的，　　　　　　　

D．当时，；当时，

难度: 简单查看答案及解析

已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（　　 ）

A．77　　　　　　　　 B．49　　　　　　　　　 C．45　　　　　　　　 D．30

难度: 简单查看答案及解析

设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（　　 ）

A．3　　　　　　　　 B．4　　　　　　　　　　 C．5　　　　　　　　 D．6

难度: 简单查看答案及解析

已知向量，，则　　　　 ．

难度: 困难查看答案及解析

函数的零点个数为　　　　　　 ．

难度: 中等查看答案及解析

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度　　　　 m．

难度: 简单查看答案及解析

如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．

（Ⅰ）圆的标准方程为　　　　　　 ；

（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：

①；　 ②；　 ③．

其中正确结论的序号是　　　　　　 ．（写出所有正确结论的序号）

难度: 简单查看答案及解析

（选修4-1：几何证明选讲）

如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则　　　　 ．

难度: 中等查看答案及解析

（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为　 ( 为参数) ，与C相交于两点，则　　　　 ．

难度: 中等查看答案及解析

（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；

（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．

难度: 困难查看答案及解析

（本小题满分12分）设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．

难度: 困难查看答案及解析

（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接

（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．

难度: 困难查看答案及解析

（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．

（Ⅰ）求的分布列和均值；

（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

难度: 极难查看答案及解析

（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

难度: 极难查看答案及解析

（本小题满分14分）已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小；

（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．

难度: 极难查看答案及解析