2020届湖南省高三12月大联考数学理科试卷

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本卷共 22 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 6 题
简单题 5 题，中等难度 13 题，困难题 4 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

若向量，，且，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
设集合，，则（　　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
设函数若是奇函数，则（　　）
A. B. C. D.1

难度: 简单查看答案及解析
已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列判断正确的是　　
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，，则 D.若，，，则

难度: 中等查看答案及解析
函数的零点所在的区间为（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知等比数列的前n项和为，且，，则（　　）
A.16 B.19 C.20 D.25

难度: 中等查看答案及解析
已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
设，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
在直角坐标系xOy中，直线l：与抛物线C：相交于A，B两点，，且，则（　　）
A.7 B.8 C.9 D.10

难度: 中等查看答案及解析
棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为（　　）
A. B.
C. D.

难度: 困难查看答案及解析
设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（　　）
A. B.
C. D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

设向量，，，则______．

难度: 简单查看答案及解析
现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是______．
①若，则的最大值为；
②若，，是等差数列的前3项，则；
③“”的一个必要不充分条件是“”；
④若且，则．

难度: 中等查看答案及解析
若函数在内存在唯一的，使得，则的最小正周期的取值范围为__________．

难度: 中等查看答案及解析
如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱上一点，若与平面所成角的正切值为2，则的最小值为________.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 6 题

设函数．
（1）若曲线与x轴的交点为A，求曲线在点A处的切线方程；
（2）证明：．

难度: 中等查看答案及解析
已知四棱锥的直观图如图所示，其中，，两两垂直，，且底面为平行四边形.
（1）证明：.
（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥的体积.

难度: 中等查看答案及解析
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围．

难度: 中等查看答案及解析
如图，在三棱锥中，，二面角的大小为120°，点在棱上，且，点为的重心.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.

难度: 中等查看答案及解析
已知数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数．
（1）设函数，讨论的单调性；
（2）当时，若存在，，，使，证明：．

难度: 困难查看答案及解析