吉林省长春市2019届高三期末考试数学（理）试卷

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本卷共 22 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 6 题
简单题 8 题，中等难度 13 题，困难题 1 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合, ，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 或

难度: 简单查看答案及解析
函数的递增区间为（）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
若是两条不同的直线，是三个不同的平面，
①　　　　　
②
③
④若,，则
则以上说法中正确的有(　　 )个
A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4

难度: 中等查看答案及解析
下列判断中正确的是（　　）
A. “若，则有实数根”的逆否命题是假命题
B. “”是“直线与直线平行”的充要条件
C. 命题“”是真命题
D. 已知命题，使得；命题，则是真命题.

难度: 简单查看答案及解析
设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2019项和为（　　）
A. 1　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
若向量满足，则与夹角的余弦值是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　 )
A. 20　　 B. 15　　 C. 10　　 D. 5

难度: 中等查看答案及解析
设的一个顶点是，的平分线方程分别为，则直线的方程为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数的周期为　　 B. 函数为偶函数
C. 函数在上单调递增　　 D. 函数的图象关于点对称

难度: 中等查看答案及解析
函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

曲线与轴所围成的封闭图形的面积是_____．

难度: 简单查看答案及解析
是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．

难度: 中等查看答案及解析
已知圆，圆，则两圆的公共弦长是 ___．

难度: 简单查看答案及解析
我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为________．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 6 题

已知等差数列中，，前12项和
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：。

难度: 简单查看答案及解析
已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称.
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，角的对边分别为，若，且，，求外接圆的面积.

难度: 中等查看答案及解析
设．
（1）若，判断并证明函数的奇偶性；
（2）令，，求函数的最大值和最小值.

难度: 中等查看答案及解析
如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形，∥，，，四边形为正方形，平面平面.
（Ⅰ）若点是棱的中点，求证：∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

难度: 中等查看答案及解析
如图，圆：．
（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
（Ⅱ）已知，圆与x轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点A,B．问：是否存在实数a，使得=？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

难度: 困难查看答案及解析
已知函数 .
(1)若，求的最小值；　
(2)若,求的单调区间；
(3)试比较与的大小,并证明你的结论.

难度: 中等查看答案及解析