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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 9 题，中等难度 12 题，困难题 2 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题

  1. 已知集合，，则中元素的个数是（　　 ）

    A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知复数在复平面内对应的点为，（为虚数单位），则（　　 ）

    A.  B.  C. 2 D. 1

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 如图给出的是某高校土木工程系大四年级55名学生期末考试专业成绩的频率分布折线图（连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点），其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，则下列结论中正确的是（　　 ）

    A. 成绩是75分的人数有20人

    B. 成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多

    C. 成绩落在70-90分的人数有35人

    D. 成绩落在75-85分的人数有35人

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 的展开式中的系数是（　　 ）

    A. 27 B. -27 C. 26 D. -26

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是（　　 ）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，若的图象关于对称，则的值为（　　 ）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则的值是（　　 ）

    A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 在数列中，已知，，则该数列前2019项的和（　　 ）

    A. 2019 B. 2020 C. 4038 D. 4040

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（　　 ）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 函数在区间上零点的个数为（　　 ）

    A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（　　 ）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 若、满足约束条件，则的最大值与最小值之和为_________.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知数列为等比数列，且，则__________．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 某中学高三共有900人，一次数学考试的成绩（试卷满分150分）服从正态分布，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的，则此次考试成绩不低于120分的学生约有__________人．

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知，，函数.

    （Ⅰ）求函数的单调递增区间；

    （Ⅱ）在中，内角、、的对边分别为、、，若，，且外接圆的面积为，求的周长.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品.现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：

    测试指标

    零件

    8

    12

    40

    30

    10

    零件

    9

    16

    40

    28

    7

    （Ⅰ）试分别估计、两种零件为正品的概率；

    （Ⅱ）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（Ⅰ）的条件下：

    （i）设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望；

    （ii）求生产5个零件所得利润不少于160元的概率.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图所示，三棱锥放置在以为直径的半圆面上，为圆心，为圆弧上的一点，为线段上的一点，且，，.

    （Ⅰ）求证：平面平面；

    （Ⅱ）当二面角的平面角为时，求的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知抛物线：.

    （Ⅰ）、是抛物线上不同于顶点的两点，若以为直径的圆经过抛物线的顶点，试证明直线必过定点，并求出该定点的坐标；

    （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，抛物线在、处的切线相交于点，求面积的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数.

    （Ⅰ）当时，函数在区间上的最小值为-5，求的值；

    （Ⅱ）设，且有两个极值点，.

    （i）求实数的取值范围；

    （ii）证明：.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

    （Ⅰ）求圆的极坐标方程；

    （Ⅱ）射线：与圆的交点为、，与曲线：的交点为，求线段的长.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数.

    （Ⅰ）当时，求不等式的解集；

    （Ⅱ）若函数的最小值为3，且，，证明：.

    难度: 中等查看答案及解析