山东省2019届高三第一次大联考文科数学试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 18 题，中等难度 5 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，，则的元素个数是（　　）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

难度: 简单查看答案及解析
若复数满足，则的虚部为
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
设是不共线的向量，则“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析
已知向量的夹角为，则等于（　　）
A.
B.
C.
D.

难度: 简单查看答案及解析
已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（　　）
A.
B.
C.
D.

难度: 简单查看答案及解析
已知抛物线的焦点为，上一点在轴上的投影为，为坐标原点.若的面积为，则（　　）
A.
B.
C.
D.

难度: 简单查看答案及解析
我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容.如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形所围成的区域记为Ⅰ，在圆内且在正方形外的部分记为Ⅱ，在圆外且在大正方形内的部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，则（　　）
A.
B.
C.
D.

难度: 简单查看答案及解析
设，则的大小关系是（　　）
A.
B.
C.
D.

难度: 简单查看答案及解析
如图，在中，点在边上，且,,,的面积为，则线段的长度为（　　）
A.
B.
C.
D.

难度: 简单查看答案及解析
相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（　　）
A.
B.
C.
D.

难度: 简单查看答案及解析
设函数，则不等式的解集为（　　）
A.
B.
C.
D.

难度: 简单查看答案及解析
如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将、、分别对应重合为，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（　　）
A.
B.
C.
D.

难度: 简单查看答案及解析

填空题共 4 题

已知函数在点处的切线方程为___________.

难度: 简单查看答案及解析
网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体最大侧棱长为_________.

难度: 简单查看答案及解析
关于的不等式组表示的平面区域为，若平面区域内存在点，满足，则实数的取值范围是______.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数的图象关于点对称，且在上有且只有三个零点，则的最大值是_________.

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

已知数列，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.

难度: 简单查看答案及解析
已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.
(1)证明：平面；
(2)若点是棱上一点，且平面，求三棱锥的体积.

难度: 简单查看答案及解析

下表是年个重点城市（序号为一线城市，其它为非一线城市）的月平均收入与房价对照表，根据表中数据并适当修正，得到房价中位数与月平均收入的线性回归方程是，我们把根据房价与月平均收入的线性回归方程得到的房价称为参考房价，若实际房价中位数大于参考房价，我们称这个城市是“房价偏贵城市”.

序号	月评价收入	房价中位数	参考房价	序号	月评价收入	房价中位数	参考房价	序号	月评价收入	房价中位数	参考房价
1	10670	67822		11	7081	17327	25704	21	7081	14792	15972
2	10015	52584	51180	12	7065	13918	19476	22	7065	18741	15780
3	9561	50900	45732	13	7027	16286	19404	23	7027	10538	15324
4	8798	30729	36576	14	6974	16667	18204	24	6974	12069	14688
5	7424	10926	20088	15	6920	9743	17760	25	6920	2333	14040
6	7825	26714	24900	16	6903	10627	18120	26	6903	13582	13836
7	7770	39723	24240	17	6884	29000	17388	27	6884	22126	13608
8	7750	15114	24000	18	6654	7979	16584	28	6654	12207	10848
9	7723	17727	23676	19	6648	12500	16920	29	6648	12472	10776
10	7635	13012	22620	20	6608	12298	16200	30	6608	16406	10286

(1)计算城市的参考房价；

(2)从个一线城市中随机选取个城市进行调研，求恰好选到一个“房价偏贵城市”的概率；

(3)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为一线城市与该城市为“房价偏贵城市”有关？

	一般城市	非一线城市	总计
房价偏贵城市
不是房价偏贵城市
总计

附参考公式及数据：，其中.

	0.100	0.050	0.01
	2.706	3.841	6.635

难度: 简单查看答案及解析

椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.已知当时，，且的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，求过点且圆心在轴上的圆的方程.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数（为常数，且）
(1）当时，求函数的单调区间；
(2）若函数在区间上有唯一的极值点，求实数和极值的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.
（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析