北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学理试卷

设全集，集合，，则集合(　 )

A.  B.

C.  D.

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若复数，则在复平面内对应的点位于 (　　 )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

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执行如图所示的程序框图，则输出的k值为(　 )

A. 4 B. 5 C. 7 D. 9

难度: 中等查看答案及解析

下列直线中，与曲线为参数）没有公共点的是　　

A.  B.  C.  D.

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设 均为正数，则“”是“”的(　 )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

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如图，阴影表示的平面区域是由曲线，所围成的. 若点在内（含边界），则的最大值和最小值分别为(　 )

A. ， B. ， C. ， D. ，

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团体购买公园门票，票价如下表：

现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为(　 )

A.  B.  C.  D.

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如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为(　 )

A.  B.  C.  D.

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在等比数列中，，，则数列的前n项和____．

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设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．

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函数的最小正周期____；如果对于任意的都有，那么实数a的取值范围是____．

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某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．

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能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是___．

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如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.

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在△中，已知，其中.

（Ⅰ）判断能否等于3，并说明理由；

（Ⅱ）若，，，求．

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如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直， ，，，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，说明理由．

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为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.

（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a的所有可能取值；

（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望.

（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为. 在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明）

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设函数，其中．

（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．

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已知椭圆: 的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

（Ⅰ）当，且直线 轴时， 求四边形的面积；

（Ⅱ）设，直线与直线相交于点，求证：三点共线.

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如图，设是由 个实数组成的行列的数表，其中 表示位于第行第列的实数，且.

定义 为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.

（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；

（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；

（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.

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