山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测（一模）数学（文）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 7 题，中等难度 16 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，集合，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

难度: 简单查看答案及解析
“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（　　）
A. 493 B. 383 C. 183 D. 123

难度: 简单查看答案及解析
调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.
给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

难度: 简单查看答案及解析
执行如图所示的程序框图，则输出的值为（　　）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

难度: 简单查看答案及解析
在中，，，则（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知数列为等比数列，满足；数列为等差数列，其前项和为，且，则（　　）
A. 13 B. 48 C. 78 D. 156

难度: 中等查看答案及解析
已知双曲线：，为坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，过的右焦点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，若与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧），则该几何体的体积为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，若，，，则，，的大小关系是（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，若方程（为常数）有两个不相等的根，则实数的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是__________．

难度: 简单查看答案及解析
已知，满足约束条件，则的最小值为__________．

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为6，则椭圆的方程为__________．

难度: 中等查看答案及解析
在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，且，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__________．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

在中，，，，为线段上的一点，为的中点.
（1）求；
（2）若的面积为3，求的长度.

难度: 中等查看答案及解析
如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积.

难度: 中等查看答案及解析
某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图.

产品质量/毫克

频数

3

9

19

35

22

7

5

（1）由以上统计数据完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？

甲流水线

乙流水线

总计

合格品

不合格品

总计

附表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（参考公式：，）
（2）按照以往经验，在每小时次品数超过180件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在（单位：百件）件产品中，得到次品数量（单位：件）的情况汇总如下表所示：

（百件）

0.5

2

3.5

4

5

（件）

2

14

24

35

40

根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过180件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产2000件的任务？
（参考公式：用最小二乘法求线性回方程的系数公式
；）

难度: 中等查看答案及解析
已知抛物线：的焦点为，点在上，的中点坐标为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相切于点（异于原点），与抛物线的准线相交于点，证明：.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，，为自然对数的底数.
（1）当时，证明：函数只有一个零点；
（2）若函数存在两个不同的极值点，，求实数的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）；以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线：.
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；
（2）已知直线与曲线和曲线分别交于和两点（均异于点），求线段的长.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，.
（1）若，解不等式；
（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

产品质量/毫克	频数
	3
	9
	19
	35
	22
	7
	5

	甲流水线	乙流水线	总计
合格品
不合格品
总计

（百件）	0.5	2	3.5	4	5
（件）	2	14	24	35	40