河北省2019届高三下学期一调考试理科数学试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 13 题，填空题 3 题，解答题 7 题
简单题 3 题，中等难度 11 题，困难题 9 题。总体难度: 中等

单选题共 13 题

已知集合，，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知，是虚数单位，若，则（　　）
A. B. 2 C. D. 5

难度: 中等查看答案及解析
给出下列四个结论：
①命题“，”的否定是“，”；
②命题“若，则且”的否定是“若，则”；
③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；
④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.
其中正确结论的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

难度: 中等查看答案及解析
函数的图象大致是（　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（　　）
A. B.
C. D.

难度: 困难查看答案及解析
执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）
A. 2018 B. -1010 C. 1009 D. -1009

难度: 中等查看答案及解析
已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（　　）
A. 65 B. C. D. 60

难度: 中等查看答案及解析
五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析
已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（　　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析
已知当时，，则以下判断正确的是（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（　　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析
在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（　　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 3 题

抛物线的准线方程为_______.

难度: 简单查看答案及解析
已知在内，且，，则____．

难度: 困难查看答案及解析
设实数，若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最小值为______．

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

已知数列的前项和满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列的前100项中，是否存在两项，（，且），使得，，三项成等比数列？若存在，求出所有的，的取值；若不存在，请说明理由.

难度: 中等查看答案及解析
某企业为了解年广告费（单位：万元）对年销售额（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年销售额的数据作了初步整理，得到下面的表格：

年广告费/万元

2

3

4

5

年销售额/万元

26

39

49

54

（1）用年广告费作解释变量，年销售额作预报变量，在所给坐标系中作出这些数据的散点图，并判断与哪一个更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）.
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程.
（3）已知商品的年利润与，的关系为.根据（2）的结果，计算年广告费约为何值时（小数点后保留两位），年利润的预报值最大.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

难度: 中等查看答案及解析
如图①，在五边形中，，，，，将沿折起到的位置，得到如图②所示的四棱锥，为线段的中点，且平面.
（1）求证：平面.
（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.

难度: 中等查看答案及解析
如图①，在中，，的中点为，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆分别与边，的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，如图②所示.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于不同的两点，，直线，分别交曲线于点，，设，，求的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数有两个不同的极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）设，讨论函数的零点个数.

难度: 困难查看答案及解析
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，的公共点为，.
（1）求直线的斜率；
（2）若，分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求四边形的面积.

难度: 中等查看答案及解析
[选修4-5：不等式选讲]
设函数的最小值为.
（1）求实数的值；
（2）设，，求的最小值.

难度: 中等查看答案及解析

年广告费/万元	2	3	4	5
年销售额/万元	26	39	49	54