2020届湖南省长沙市高三上学期月考（四）数学（文）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 8 题，中等难度 12 题，困难题 3 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，，则(　 )
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知复数满足，则在复平面内复数对应的点为
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
在等比数列中，，则(　 )
A. 2 B. 4 C. D.

难度: 简单查看答案及解析
一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
函数的图象大致是（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
若函数在区间上的最大值为6，则（　　）
A.2 B.4 C.6 D.8

难度: 简单查看答案及解析
已知直线l：y＝x＋m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A.［－1,) B.(－，－1］ C.[1，) D.(－，1］

难度: 中等查看答案及解析
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tanC＝（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
函数在上存在导数，若，则必有（　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（　）
A.2022 B.1011 C.2020 D.1010

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

设为椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为______.

难度: 中等查看答案及解析
已知正实数满足，则的最小值为_______．

难度: 简单查看答案及解析
已知数列的前项和为，则______．

难度: 中等查看答案及解析
定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是______.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

等差数列中，公差，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.

难度: 中等查看答案及解析
由于受大气污染的影响，某工程机械的使用年限（年）与所支出的维修费用（万元）之间，有如下统计资料：

（年）

2

3

4

5

6

（万元）

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

假设与之间呈线性相关关系.
（1）求维修费用（万元）与设备使用年限（年）之间的线性回归方程；（精确到0.01）
（2）使用年限为8年时，维修费用大概是多少？
参考公式：回归方程，其中，.

难度: 中等查看答案及解析
如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，AB∥CD，，．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

难度: 中等查看答案及解析
已知经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，直线分别交直线于点．
(1）求证：为定值；
（2）求的最小值．

难度: 困难查看答案及解析
已知函数，.
（1）当，时，求函数在处的切线方程，并求函数的最大值；
（2）若函数的两个零点分别为，，且，求证：.

难度: 困难查看答案及解析
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．
（1）求与的交点的直角坐标；
（2）求上的点到直线的距离的最大值．

难度: 简单查看答案及解析
设，已知函数，．
（1）若是的零点，求不等式的解集：
（2）当时，，求的取值范围．

难度: 中等查看答案及解析

（年）	2	3	4	5	6
（万元）	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0