2015届四川省成都市新都区高三诊断测试理科数学试卷（解析版）

已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝{x|x－1≥0}，那么集合A∩UB＝（　　 ）

A.{x|0＜x＜1}　　　　　　 B.{x|x＜0}　　　　　　　 C.{x|x＞2}　　　　　　 D.{x|1＜x＜2}

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复数z＝（其中i为虚数单位），则的值为（　　 ）

A.　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　 D.

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等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＜0，且S2015＝0，则当Sn取得最小值时，n的取值为（　　 ）

A.1009　　　　 B.1008　　　　 C.1007或1008　　　　 D.1008或1009

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在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，b＝6，则△ABC的外接圆半径为（　　 ）

A.6　　　　　 B.12　　　　　 C.2　　　　 D.4

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设f（x）＝4sinxsin＋cos2x，|f（x）－m|＜3对x∈（0，π）恒成立，则实数m的范围是（　　 ）

A.[0，4]　　　　　 B.（0，4]　　　　 C.[0，4）　　　　 D.（0，4）

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设p：（x－2）（y－5）≠0；q：x≠2或y≠5；r：x＋y≠7；则下列命题：

①p是r的既不充分也不必要条件；②p是q的充分不必要条件；③q是r的必要不充分条件.

其中全部真命题有（　　 ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D.①②③

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已知x，y∈（0，1），且lnx，，lny成等比数列，则xy有（　　 ）

A.最小值e　　　　　 B.最小值　　　　　 C.最大值e　　　　　 D.最大值

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△ABC中，|AB|＝10，|AC|＝15，∠BAC＝，点D是边AB的中点，点E在直线AC上，且，直线CD与BE相交于点P，则线段AP的长为（　　 ）

A. B. C.2 D.2

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函数f1（x）＝x3，f2（x）＝，f3（x）＝，f4（x）＝|sin（2πx）|，等差数列{an}中，a1＝0，a2015＝1，bn＝|fk（an＋1）－fk（an）|（k＝1，2，3，4），用Pk表示数列{bn}的前2014项的和，则（　　 ）

A.P4＜1＝P1＝P2＜P3＝2　　　　　 B.P4＜1＝P1＝P2＜P3＜2

C.P4＝1＝P1＝P2＜P3＝2　　　　　 D.P4＜1＝P1＜P2＜P3＝2

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德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f（x）＝被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：

①f（f（x））＝0；

②函数f（x）是偶函数；

③f（x）是周期函数；

④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形；

⑤存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为直角三角形.

其中真命题的个数是（　　 ）

A.1　　　　　　　　 B.2　　　　　　　 C.3　　　　　　　　 D.4

难度: 中等查看答案及解析

数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2＝an＋1－an（n∈N*），a1＝1，a2＝2，则S2014＝_________.

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已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，有f（x－3）＝f（x－5），若当x∈[0，1）时，f（x）＝2x－1，则f（1）＋f（log6）的值为___________

难度: 中等查看答案及解析

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝8，c＝6，A＝，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则|AD|＝___________.

难度: 简单查看答案及解析

函数f（x）＝10x＋x－7与g（x）＝lgx＋x－7的零点分别为1和x2，则x1＋x2＝_______

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定义一：对于一个函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的直线y＝kx＋m1和y＝kx＋m2，使得在x∈D时，kx＋m1≤f（x）≤kx＋m2 恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的．

定义二：若一个函数f（x），对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，＋∞）内有一个宽度为ɛ的，则称f（x）在正无穷处有．下列函数：

①f（x）＝lgx，②f（x）＝，③f（x）＝－，④f（x）＝，⑤f（x）＝2x，⑥f（x）＝3x－

其中在正无穷处有的函数的序号是___________．

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已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）＝sin（ωx＋Φ）（ω＞0，0＜Φ＜）图象上的任意两点，若|y1－y2|＝2时，|x1－x2|的最小值为，且函数f（x）的图象经过点（0，2），在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinAsinC＋cos2B＝1.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求g（B）＝f（B）＋f（B＋）的取值范围.

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设在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子里有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为x，y，设随机变量ξ＝|x－2|＋|y－x|

（1）写出随机变量ξ的取值集合（直接写出答案即可）；

（2）求ξ的分布列和数学期望及方差.

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如图，多边形ABCDE中，∠ABC＝90°，AD∥BC，△ADE是正三角形，AD＝2，AB＝BC＝1，沿直线AD将△ADE折起至△ADP的位置，连接PB，BC，构成四棱锥P－ABCD，使得PB＝.点O为线段AD的中点，连接PO.

（1）求证：PO⊥平面ABCD；

（2）求二面角B－PC－D的大小的余弦值.

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数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＋an＝3n＋2（n∈N*），数列{bn}满足2bn＋1＝bn＋bn＋2（n∈N*），且b3＝7，b8＝22.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式an和bn；

（2）设数列cn＝anbn，求{cn}的前n项和Tn.

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已知函数f（x）＝＋lnx.

（1）若函数f（x）在[1，＋∞）上为增函数，求实数a的取值范围；

（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，其中bn＝，求证：当n≥2时，1＋lnn＞Sn.

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已知函数f（x）＝lnx＋ax2－（a＋1）x（a∈R）.

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数a的值；

（3）若对x1，x2∈（0，＋∞），x1＜x2，且f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2恒成立，求实数a的取值范围.

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