吉林省长春市2018届高三质量监测(一) 数学（理科）试卷

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本卷共 23 题，其中：
选择题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 3 题，中等难度 20 题。总体难度: 简单

选择题共 12 题

设为虚数单位，则(　　 )
A. 　　 B. 　　 C. 5　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
集合的子集的个数为(　　 )
A. 4　　 B. 7　　 C. 8　　 D. 16

难度: 简单查看答案及解析
右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．
其中正确结论的个数为（　　）
A. 0　　 B. 1　　 C. 2　　 D. 3

难度: 中等查看答案及解析
等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为(　　 )
A. 6　　 B. 7　　 C. 8　　 D. 9

难度: 中等查看答案及解析
已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为(　　 )
A. 92，94　　 B. 92，86　　 C. 99，86　　 D. 95，91

难度: 中等查看答案及解析
若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是(　　 )
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知，，且，则的最小值为(　　 )
A. 8　　 B. 9　　 C. 12　　 D. 16

难度: 中等查看答案及解析
《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（　　）
A. 4立方丈　　 B. 5立方丈　　 C. 6立方丈　　 D. 12立方丈

难度: 中等查看答案及解析
已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（　　）
A. 4　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（　　）
A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和
B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和
C. 求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和
D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和

难度: 中等查看答案及解析
已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点作的平分线的垂线，垂足为，则（　　）
A. 1　　 B. 2　　 C. 4　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

已知角满足，，则的取值范围是__________．

难度: 中等查看答案及解析
已知平面内三个不共线的向量，，两两夹角相等，且，，则__________．

难度: 中等查看答案及解析
在中，三个内角的对边分别为，若，且，则面积的最大值为__________．

难度: 中等查看答案及解析
已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为__________．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

已知等差数列的前项.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)设，求证：.

难度: 中等查看答案及解析
长春市“名师云课”活动自开展以为获得广大家长以及学子的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给广大学子，现对某一时段云课的点击量进行统计：

点击量

节数

6

18

12

(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数.
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望.

难度: 中等查看答案及解析
如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)设，，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆的两个焦点为，，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点(点位于轴上方)，若，且，求直线的斜率的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，.
(1)若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；
(2)当时，恒成立，求整数的最大值.
(3)证明：.

难度: 中等查看答案及解析
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，3为半径.
(1)求直线的参数方程和圆的极坐标方程；
(2)设直线与圆相交于两点，求.

难度: 中等查看答案及解析
设不等式的解集为.
(1)求集合；
(2)若，求证：.

难度: 中等查看答案及解析

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节数	6	18	12