2010-2011学年湖南省常德市高三质量检测考试数学理卷

试卷详情

本卷共 21 题，其中：
选择题 8 题，填空题 7 题，解答题 6 题
中等难度 21 题。总体难度: 中等

选择题共 8 题

若集合，则集合（）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
复数（）
A.2 B.-2 C.2i D.-2i

难度: 中等查看答案及解析
设和是两个不重合的平面，给出下列命题：
①若内两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②若外一条直线与内一条直线平行，则；
③设，若内有一条直线垂直于，则；
④直线的充要条件是与内的两条直线垂直。
上面的命题中，真命题的序号是（）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④

难度: 中等查看答案及解析
图1是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
．函数的导函数
的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称
轴的方程是（    ）
A.      B.
C.      D.

难度: 中等查看答案及解析
已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（）
A． B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知正项等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为( )
A.25 B.50 C.100 D.不存在

难度: 中等查看答案及解析
若有序数对满足在求时各位均不会进位，则称为“简单的”有序数对，称为有序数对的值。如（21，35）是简单的有序数对，其值为56；而（27，29）不是简单有序数对。那么值为168的“简单的”有序数对的个数是( )
A.63 B.84 C.126 D.168

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 7 题

图2是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的表面积为________。

难度: 中等查看答案及解析
在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，，则________

难度: 中等查看答案及解析
．若则的解集是________

难度: 中等查看答案及解析
．某企业有个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从个分厂生产的电子产品中共取件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为，，，则抽取的件产品的使用寿命的平均值为 __________________h 。

难度: 中等查看答案及解析
若不等式组表示的平面区域为，所表示的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为_。

难度: 中等查看答案及解析
．已知R上的奇函数对都有成立，则等于

难度: 中等查看答案及解析
对于任意正整数j，k，定义，如.对
于任意不小于2的正整数m、n，，
，则= ； =________.

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 6 题

已知、、分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，设，.
(1)求角A的大小； (2)若,求的值.

难度: 中等查看答案及解析
（本小题12分）
如图3，已知在侧棱垂直于底面
的三棱柱中，AC=BC, AC⊥BC,点D是A₁B₁中点.
(1)求证：平面AC₁D⊥平面A₁ABB_1;
(2)若AC₁与平面A₁ABB₁所成角的正弦值
为，求二面角D- AC₁-A₁的余弦值.

难度: 中等查看答案及解析
（本小题12分）
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。
(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；
(Ⅱ) 观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。

难度: 中等查看答案及解析
（本小题满分13分）
已知定点，，动点A满足｜AE|=4，线段AF的垂直平分线交AE于点M。
（1）求点M的轨迹C₁的方程；
（2）抛物线C₂：与C₁在第一象限交于点P，直线PF交抛物线于另一个点Q，求抛物线的POQ弧上的点R到直线PQ的距离的最大值。

难度: 中等查看答案及解析
（本小题满分13分）
某奖励基金发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在某6个方面为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息存入基金总额，以便保证奖金数逐年增加。假设基金平均年利率为，2000年该奖发放后基金总额约为21000万元。用表示为第年该奖发放后的基金总额（2000年为第一年）。
（1）用表示与，并根据所求结果归纳出的表达式；
（2）试根据的表达式判断2011年度该奖各项奖金是否超过150万元？并计算从2001年到2011年该奖金累计发放的总额。
（参考数据：）

难度: 中等查看答案及解析
函数
（1）求的单调区间；
（2）求使函数f(x)有零点的最小正整数a的值；
（3）证明：

难度: 中等查看答案及解析