复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
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下列说法正确的是( )
A. 命题“若,则”的否命题是“若,则”
B. 若,则“”是“”的必要不充分条件
C. 函数的最小值为
D. 命题“,”的否定是“,”
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已知函数,则函数的图象在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
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已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
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甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否去过市时,甲说:我没去过,乙说:丙去过,丙说:丁去过,丁说:我没去过.在以上的回答中只有一人回答正确,且只有一人去过市.根据以上条件,可以判断去过市的人是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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用数学归纳法证明不等式“”时的过程中,由到,不等式的左边增加的项为( )
A. B.
C. D.
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已知为等差数列,,.若为等比数列,,则类似的结论是( )
A. B.
C. D.
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将标号分别为,,,,的个小球放入个不同的盒子中,每个盒子至少放一球,则不同的方法种数为( )
A. B. C. D.
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已知数列是公比为的等比数列,满足.设等差数列的前项和为,若,则( )
A. B. C. D.
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已知椭圆与抛物线的交点为 ,连线经过抛物线的焦点,且线段的长度等于椭圆的短轴长,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
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已知函数是函数的导函数,(其中为自然对数的底数),对任意实数,都有,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
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已知的展开式中各项的二项式系数之和为.
(1)求的值;
(2)求的展开式中项的系数;
(3)求展开式中的常数项.
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已知的三个内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,,求.
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设命题实数满足,命题实数满足.
(1)若,为真命题,求的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
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如图,在多面体中,四边形,,均为正方形,点是的中点,点在上,且与平面所成角的正弦值为.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的大小.
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如图,在多面体中,四边形,,均为正方形,点是的中点,点在上,且与平面所成角的正弦值为.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析:(1)根据条件可证得四边形是平行四边形,故,然后由线面平行的判定定理可得结论成立.(2)由题意易知两两垂直且相等,故建立空间直角坐标系,通过向量的运算来求二面角的大小.
详【解析】
(1)因为四边形,均为正方形,
所以且,且,
所以且,
所以四边形是平行四边形,
所以.
又因为平面,平面,
所以 .
(2)由题意易知两两垂直且相等,以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系.
令,则.
设,且,则,
故,
所以点H的坐标为,
故.
易得为平面的一个法向量.
设与平面所成角为,
则,
解得或(舍去),
所以点,
所以,
设平面的法向量为,
由得令,则.
设平面的法向量为,同理可得,
故难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆的一个焦点为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆交于,两点,求(为坐标原点)的面积取最大值时直线的方程.
【答案】(1);(2),直线的方程为.
【解析】分析:(1)根据椭圆的焦点坐标和所过的点得到关于的方程组,求解后可得椭圆的方程.(2)将直线方程代入椭圆的方程消元后,结合根与系数间的关系求得及原点到直线的距离,求得的面积后,再根据目标函数的特征求解最值.
详解:(1)依题意得解得
∴椭圆的方程为.
(2)由消去整理得,
其中
设,
则,,
∴,
又原点到直线的距离.
∴,
令,
则,
∴当时,取得最大值,且,此时,即.
∴直线的方程为
∴的面积取最大值时直线的方程为.
点睛:解决圆锥曲线中的范围或最值问题时,一般先选择适当的参数建立目标函数,再求这个函数的最值,求最值的常用方法有:
①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
②利用基本不等式求出参数的最值或范围;
③在目标函数的基础上构造新的函数,利用函数的性质求最值或范围.
【题型】解答题
【结束】
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已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)若函数(其中为自然对数的底数),且对任意的总有成立,求实数的取值范围.
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