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本卷共 22 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 6 题
简单题 6 题,中等难度 13 题,困难题 3 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. 复数为虚数单位)在复平面内对应的点位于(   )

    A. 第一象限   B. 第二象限   C. 第三象限   D. 第四象限

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 抛物线的焦点坐标是(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 下列说法正确的是(   )

    A. 命题“若,则”的否命题是“若,则

    B. 若,则“”是“”的必要不充分条件

    C. 函数的最小值为

    D. 命题“”的否定是“

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知函数,则函数的图象在处的切线方程为(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知函数上单调递增,则实数的取值范围是(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否去过市时,甲说:我没去过,乙说:丙去过,丙说:丁去过,丁说:我没去过.在以上的回答中只有一人回答正确,且只有一人去过市.根据以上条件,可以判断去过市的人是(   )

    A. 甲   B. 乙   C. 丙   D. 丁

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 用数学归纳法证明不等式“”时的过程中,由,不等式的左边增加的项为(   )

    A.    B.

    C.    D.

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 已知为等差数列,.若为等比数列,,则类似的结论是(   )

    A.    B.

    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 将标号分别为个小球放入个不同的盒子中,每个盒子至少放一球,则不同的方法种数为(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 已知数列是公比为的等比数列,满足.设等差数列的前项和为,若,则(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知椭圆与抛物线的交点为连线经过抛物线的焦点,且线段的长度等于椭圆的短轴长,则椭圆的离心率为(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知函数是函数的导函数,(其中为自然对数的底数),对任意实数,都有,则不等式的解集为(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 设复数满足,则__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 计算__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知是双曲线的两个焦点,为双曲线上一点,且,若的面积为,则__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 的各位数字之和,如,则.记,……,,则__________.

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 6 题
  1. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为.

    (1)求的值;

    (2)求的展开式中项的系数;

    (3)求展开式中的常数项.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知的三个内角的对边分别为,且.

    (1)求角的大小;

    (2)若,求.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 设命题实数满足,命题实数满足.

    (1)若为真命题,求的取值范围;

    (2)若的充分不必要条件,求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图,在多面体中,四边形均为正方形,点的中点,点上,且与平面所成角的正弦值为.

    (1)证明:平面

    (2)求二面角的大小.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 如图,在多面体中,四边形均为正方形,点的中点,点上,且与平面所成角的正弦值为.

    (1)证明:平面

    (2)求二面角的大小.

    【答案】(1)见解析;(2).

    【解析】分析:(1)根据条件可证得四边形是平行四边形,故,然后由线面平行的判定定理可得结论成立.(2)由题意易知两两垂直且相等,故建立空间直角坐标系,通过向量的运算来求二面角的大小.

    详【解析】
    (1)因为四边形均为正方形,

    所以

    所以

    所以四边形是平行四边形,

    所以

    又因为平面平面

    所以

    (2)由题意易知两两垂直且相等,以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系

    ,则

    ,且,则

    所以点H的坐标为

    易得为平面的一个法向量.

    与平面所成角为

    解得(舍去),

    所以点

    所以

    设平面的法向量为

    ,则

    设平面的法向量为,同理可得

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知椭圆的一个焦点为,且过点.

    (1)求椭圆的方程;

    (2)已知直线与椭圆交于两点,求为坐标原点)的面积取最大值时直线的方程.

    【答案】(1);(2),直线的方程为.

    【解析】分析:(1)根据椭圆的焦点坐标和所过的点得到关于的方程组,求解后可得椭圆的方程.(2)将直线方程代入椭圆的方程消元后,结合根与系数间的关系求得及原点到直线的距离,求得的面积后,再根据目标函数的特征求解最值.

    详解:(1)依题意得解得 

    ∴椭圆的方程为.

    (2)由消去整理得

    其中

    又原点到直线的距离.

    ∴当时,取得最大值,且,此时,即.

    ∴直线的方程为

    的面积取最大值时直线的方程为.

    点睛:解决圆锥曲线中的范围或最值问题时,一般先选择适当的参数建立目标函数,再求这个函数的最值,求最值的常用方法有:

    ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;

    ②利用基本不等式求出参数的最值或范围;

    ③在目标函数的基础上构造新的函数,利用函数的性质求最值或范围.

    【题型】解答题
    【结束】
    22

    已知函数.

    (1)求函数的极值;

    (2)若函数(其中为自然对数的底数),且对任意的总有成立,求实数的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析