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本卷共 22 题，其中：
选择题 12 题，解答题 10 题
中等难度 22 题。总体难度: 中等
选择题 共 12 题
  1. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
    ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
    ②若α⊥γ，β⊥γ则α∥β；
    ③若m∥α，n∥α，则m∥n；
    ④若α∥β，β∥γ，m⊥α则m⊥γ．
    其中正确命题的个数是（ ）
    A．0
    B．1
    C．2
    D．3

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 在空间中，有如下命题：
    ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
    ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
    ③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β．
    其中不正确命题的个数为（ ）
    A．3
    B．2
    C．1
    D．0

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
    A．48
    B．18
    C．24
    D．36

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是
    （ ）

    A．0
    B．7
    C．快
    D．乐

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 用小立方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示．这样的几何体需要的小立方块最少与最多分别是（ ）

    A．10与15
    B．9与17
    C．10与16
    D．9与16

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
    A．8+
    B．4+
    C．8+4π
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知向量，使成立的x与使成立的x分别为（ ）
    A．
    B．-6
    C．-6，
    D．6，-

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 若A（1，-2，1），B（4，2，3），C（6，-1，4），则△ABC的形状是（ ）
    A．不等边锐角三角形
    B．直角三角形
    C．钝角三角形
    D．等边三角形

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（ ）

    A．30°
    B．45°
    C．60°
    D．90°

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，则该二面角的大小为（ ）
    A．150°
    B．45°
    C．60°
    D．120°

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是（ ）
    A．
    B．
    C．
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”；黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（ ）
    A．0
    B．1
    C．
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 10 题
  1. 已知力=（1，2，3），=（-2，3，-1），（3，-4，5），若，，共同作用于同一物体上，使物体从M1（0，-2，1）移到M2（3，1，2），则合力作的功为 ________．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有________个．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知球O的半径为1，A，B，C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为________

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 下列命题：
    ①若与共线，与共线，则与共线；
    ②向量、、共面，则它们所在直线也共面；
    ③若与共线，则存在唯一的实数λ，使=λ；
    ④若A、B、C三点不共线，0是平面ABC外一点．，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，
    上述命题中的真命题是________．

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．
    （I）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
    （II）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．
    （1）求a的值；
    （2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．
    （1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；
    （2）证明BD∥面PEC．

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且，，，．
    （1）判断P，A，B，C四点是否共面；
    （2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量．

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥（如图所示），然后他将其中的两根换成长度分别为在和的塑料棒、又搭成了一个三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥，如果两人都将BD换成了长为的塑料棒．
    （1）试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因；
    （2）试证：平面ABD⊥平面CBD；
    （3）求新三棱锥的外接球的表面积．

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．
    （1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
    （2）证明：直线FG1⊥平面FEE1；
    （3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．

    难度: 中等查看答案及解析